《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

19. （9 分）（2023·淮安）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园 $ ABCD $（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用 $ 18m $ 的篱笆围成。生态园的面积能否为 $ 40m^{2} $？如果能，请求出 $ AB $ 的长；如果不能，请说明理由。

答案： 19.生态园的面积能为$40m^2。$
四边形ABCD是矩形，AB=CD,AD=BC。
设AB的长度为xm，则BC的长度为$\frac{18-x}{2}m，$
由题意，得$x·\frac{18-x}{2}=40，$
整理，得$x^2-18x+80=0，$
解得$x_1=10,x_2=8。$
答：生态园的面积能为$40m^2，$AB的长为10m或8m。

20. （10 分）关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-3x + k = 0 $ 有实数根。
（1）求 $ k $ 的取值范围；
（2）如果 $ k $ 是符合条件的最大整数，且一元二次方程 $ (m - 1)x^{2}+x + m - 3 = 0 $ 与方程 $ x^{2}-3x + k = 0 $ 有一个相同的根，求此时 $ m $ 的值。

答案： 20.
(1)由一元二次方程$x^2-3x+k=0$有实数根，则$\Delta=$
$9-4k\geq0.$解得$k\leq\frac{9}{4}，$即为所求。
(2)由
(1)可得k的最大整数为2，把k代入$x^2-3x+$
k=0，得方程$x^2-3x+2=0，$解得该方程的根为$x_1=1，$
$x_2=2。$由方程$x^2-3x+k=0$与一元二次方程$(m-1)x^2+$
x+m-3=0有一个相同的根，则$(m-1)×1^2+1+m-3=$
0，即$m=\frac{3}{2};$或$(m-1)×2^2+2+m-3=0，$即m=1。当
m=1时，m-1=0，不合题意，舍去.故$m=\frac{3}{2}。$