《2025年通城学典课时作业本七年级数学上册湘教版》

1.(整体思想)在解方程 $3(x + 1)-\frac{1}{3}(x - 1)= 2(x - 1)-\frac{1}{2}(x + 1)$ 时,可先去分母,再将 $x + 1$,$x - 1$ 分别看成两个整体进行移项、合并同类项,得方程 $21(x + 1)= 14(x - 1)$,再继续求解,这种方法叫作整体求解法,请用这种方法解方程：$5(2x + 3)-\frac{3}{4}(x - 2)= 2(x - 2)-\frac{1}{2}(2x + 3)$。

答案： 移项、合并同类项，得$\frac{11}{2}(2x+3)=\frac{11}{4}(x-2)$，去分母，得22(2x+3)=11(x-2)，去括号，得44x+66=11x-22，移项、合并同类项，得33x=-88，两边都除以33，得$x=-\frac{8}{3}$

2.(整体思想)阅读材料,回答问题。
善于思考的乐乐同学在解方程组 $\begin{cases}3(m + 5)-2(n + 3)= -1,\\3(m + 5)+2(n + 3)= 7\end{cases} $ 时,采用了一种“整体换元”的解法。把 $m + 5$,$n + 3$ 分别看成一个整体,设 $m + 5 = x$,$n + 3 = y$,则原方程组可化为 $\begin{cases}3x - 2y= -1,\\3x + 2y= 7,\end{cases} $ 解得 $\begin{cases}x = 1,\\y = 2,\end{cases} $ 即 $\begin{cases}m + 5 = 1,\\n + 3 = 2,\end{cases} $ 解得 $\begin{cases}m = -4,\\n = -1.\end{cases} $
(1)已知关于 $x$,$y$ 的方程组 $\begin{cases}a_1x - b_1y = c_1,\\a_2x - b_2y = c_2\end{cases} $ 的解为 $\begin{cases}x = 3,\\y = 4,\end{cases} $ 请直接写出关于 $m$,$n$ 的方程组 $\begin{cases}a_1(m + 2)-b_1n = c_1,\\a_2(m + 2)-b_2n = c_2\end{cases} $ 的解是______；
(2)学以致用,模仿乐乐同学“整体换元”的方法,解方程组 $\begin{cases}\frac{x + y}{3}+\frac{x - y}{5}= 4,\frac{x + y}{3}-\frac{x - y}{5}= -2.\end{cases} $
$\begin{cases} m=1 \\ n=4 \end{cases}$
令$x+y=m$，$x-y=n$，则原方程组可化为$\begin{cases} \frac{m}{3}+\frac{n}{5}=4 \\ \frac{m}{3}-\frac{n}{5}=-2 \end{cases}$，解得$\begin{cases} m=3 \\ n=15 \end{cases}$，即$\begin{cases} x+y=3 \\ x-y=15 \end{cases}$，解得$\begin{cases} x=9 \\ y=-6 \end{cases}$

答案： （1）$\left\{\begin{array}{l} m=1,\\ n=4\end{array}\right.$解析：令m+2=p，n=q.因为关于x，y的方程组$\left\{\begin{array}{l} a_{1}x-b_{1}y=c_{1},\\ a_{2}x-b_{2}y=c_{2}\end{array}\right.$的解为$\left\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=4,\end{array}\right.$所以$\left\{\begin{array}{l} a_{1}p-b_{1}q=c_{1},\\ a_{2}p-b_{2}q=c_{2}.\end{array}\right.$所以$\left\{\begin{array}{l} m+2=3,\\ n=4.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} m=1,\\ n=4.\end{array}\right.$
（2）令x+y=m，x-y=n，则原方程组可化为$\left\{\begin{array}{l} \frac{m}{3}+\frac{n}{5}=4,\\ \frac{m}{3}-\frac{n}{5}=-2,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} m=3,\\ n=15,\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l} x+y=3,\\ x-y=15,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} x=9,\\ y=-6\end{array}\right.$

3.(整体思想)阅读材料。
“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法。数学课上,李老师给出了一个问题,已知 $x$,$y$ 满足 $\begin{cases}3x - y = 5,\\2x + 3y = 7,\end{cases} $ 求 $x - 4y$ 和 $7x + 5y$ 的值。
小明：利用消元法解方程组,得 $x$,$y$ 的值后,再分别代入 $x - 4y$ 和 $7x + 5y$ 求值。
小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系,通过适当变形,整体求得代数式的值,$\begin{cases}3x - y = 5①,\\2x + 3y = 7②,\end{cases} $ 由 $① - ②$ 可得 $x - 4y= -2$,由 $① + ②×2$ 可得 $7x + 5y = 19$。李老师对两位同学的方法进行点评,指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的应用。
请你参考小逸同学的做法,解决下面的问题。
(1)已知二元一次方程组 $\begin{cases}2x + y = 5,\\x + 2y = 1,\end{cases} $ 则 $x - y=$4,$x + y=$2；
(2)已知关于 $x$,$y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}3x + y = 2k + 1①,\\x + 3y = k + 2②,\end{cases} $ 若方程组的解满足 $x - y = 1$,求 $k$ 的值。
①-②，得2x-2y=k-1，所以$x-y=\frac{k-1}{2}$.因为x-y=1，所以$\frac{k-1}{2}=1$，解得k=3

答案： （1）4 2 （2）①-②，得2x-2y=k-1，所以$x-y=\frac{k-1}{2}$.因为x-y=1，所以$\frac{k-1}{2}=1$，解得k=3