《2025年通城学典课时作业本七年级数学上册湘教版》

6. (整体思想)阅读材料,回答问题。
解方程组 $\begin{cases}3(2x - y) + 4(x + 3y) = 11,\\5(x + 3y) + 6(2x - y) = 25\end{cases} $ 时,若直接用代入消元法或加减消元法求解,则运算量比较大,也容易出错,若把方程组中的 $(2x - y)$ 和 $(x + 3y)$ 分别看作一个整体,设 $2x - y = m$,$x + 3y = n$,则原方程组可化为 $\begin{cases}3m + 4n = 11,\\5n + 6m = 25\end{cases} $,解得 $\begin{cases}m = 5,\\n = -1\end{cases} $,即 $\begin{cases}2x - y = 5,\\x + 3y = -1\end{cases} $,所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = 2,\\y = -1\end{cases} $,这种解方程组的方法叫作整体换元法。
(1)已知关于 $x$,$y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}mx + ny = 17,\\nx - my = -28\end{cases} $ 的解为 $\begin{cases}x = -1,\\y = 10\end{cases} $,则关于 $a$,$b$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}m(a + b) + n(2a - b) = 17,\\n(a + b) - m(2a - b) = -28\end{cases} $ 的解为$\left\{\begin{array}{l} a=3,\\ b=-4\end{array}\right.$；
(2)用材料中的方法解二元一次方程组 $\begin{cases}\dfrac{x - y}{3} + \dfrac{2x + y}{4} = \dfrac{11}{4},\\2(2x + y) - \dfrac{x - y}{2} = 3\end{cases} $；
$\left\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=-3\end{array}\right.$
(3)关于 $x$,$y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1,\\a_2x + b_2y = c_2\end{cases} $ 的解为 $\begin{cases}x = 4,\\y = -3\end{cases} $,求关于 $x$,$y$ 的方程组 $\begin{cases}2a_1x + 3b_1y = 5c_1,\\2a_2x + 3b_2y = 5c_2\end{cases} $ 的解。
$\left\{\begin{array}{l} x=10,\\ y=-5\end{array}\right.$

答案：
(1)$\left\{\begin{array}{l} a=3,\\ b=-4\end{array}\right.$；
(2)$\left\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=-3\end{array}\right.$；
(3)$\left\{\begin{array}{l} x=10,\\ y=-5\end{array}\right.$

7. (新考法·过程性学习)阅读解方程组的方法,然后解答问题。
解方程组 $\begin{cases}14x + 15y = 16①,\\17x + 18y = 19②\end{cases} $ 时,由于 $x$,$y$ 的系数及常数项的数值较大,如果用常规的代入消元法、加减消元法来解,那么计算量很大,且易出现运算错误。观察发现,这两个方程中相同未知数的系数及常数项的差相等,可将两个方程相减,得到一个较简单的关系式,然后用代入消元法(或加减消元法)求解,称这种解法为“循环加减法”。② - ①,得 $3x + 3y = 3$,所以 $x + y = 1$③。③×14,得 $14x + 14y = 14$④,① - ④,得 $y = 2$,从而得 $x = -1$,所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = -1,\\y = 2\end{cases} $。
(1)请你运用上述方法解方程组：
① $\begin{cases}28x + 33y = 18,\\32x + 37y = 22\end{cases} $
② $\begin{cases}2015x + 1999y = 2031,\\2024x + 2008y = 2040\end{cases} $
(2)请你直接写出关于 $x$,$y$ 的方程组 $\begin{cases}mx + (m + 1)y = m + 2,\\nx + (n + 1)y = n + 2\end{cases} $($m \neq n$)的解：______。
(1)①$\left\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=-2\end{array}\right.$；②$\left\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=-1\end{array}\right.$；
(2)$\left\{\begin{array}{l} x=-1,\\ y=2\end{array}\right.$

答案：
(1)①$\left\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=-2\end{array}\right.$；②$\left\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=-1\end{array}\right.$；
(2)$\left\{\begin{array}{l} x=-1,\\ y=2\end{array}\right.$