《2025年通城学典课时作业本七年级数学上册湘教版》

5. 已知 $ x^{2}y^{a + 1} $ 是关于 $ x $, $ y $ 的五次单项式。
(1)求 $ a $ 的值；
(2)求代数式 $ 5a^{2} - [(a^{3} + 5a^{2} - 2a) - 2(a^{3} - 3a)] $ 的值。

答案： （1）因为$x^{2}y^{a+1}$是关于x,y的五次单项式,所以$2+a+1=5$.所以$a=2$.
（2）$5a^{2}-[(a^{3}+5a^{2}-2a)-2(a^{3}-3a)]=5a^{2}-(a^{3}+5a^{2}-2a)+2(a^{3}-3a)=5a^{2}-a^{3}-5a^{2}+2a+2a^{3}-6a=a^{3}-4a$,当$a=2$时,原式$=2^{3}-4×2=0$.

6. 若化简代数式 $ (\frac{1}{2}x^{3} + bx^{2} - 1) - (ax^{3} - x^{2} + x) $ 的结果中不含 $ x^{2} $ 项和 $ x^{3} $ 项。
(1)求 $ a $, $ b $ 的值；
(2)在(1)的条件下,先化简,再求值： $ 2(a^{2} - ab + 1) - 3(\frac{2}{3}a^{2} - 2ab + 4) $。

答案： （1）原式$=\frac{1}{2}x^{3}+bx^{2}-1-ax^{3}+x^{2}-x=(\frac{1}{2}-a)x^{3}+(b+1)x^{2}-x-1$.因为化简代数式$(\frac{1}{2}x^{3}+bx^{2}-1)-(ax^{3}-x^{2}+x)$的结果中不含$x^{2}$项和$x^{3}$项,所以$\frac{1}{2}-a=0,b+1=0$.所以$a=\frac{1}{2},b=-1$.
（2）原式$=2a^{2}-2ab+2-2a^{2}+6ab-12=4ab-10$.当$a=\frac{1}{2},b=-1$时,原式$=4×\frac{1}{2}×(-1)-10=-2-10=-12$.

7. 已知关于 $ x $, $ y $ 的多项式 $ (ax^{2} - 3x + by - 1) - 2(3 - y - \frac{3}{2}x + x^{2}) $,无论 $ x $, $ y $ 取何值,该多项式的值都不变。求多项式 $ 4(a^{2} - ab + b^{2}) - 3(2a^{2} + b^{2} + 5) $ 的值。

答案： $(ax^{2}-3x+by-1)-2(3-y-\frac{3}{2}x+x^{2})=ax^{2}-3x+by-1-6+2y+3x-2x^{2}=(a-2)x^{2}+(b+2)y-7$.因为无论x,y 取何值,该多项式的值都不变,所以$a-2=0,b+2=0$.所以$a=2,b=-2$.所以$4(a^{2}-ab+b^{2})-3(2a^{2}+b^{2}+5)=4a^{2}-4ab+4b^{2}-6a^{2}-3b^{2}-15=-2a^{2}+b^{2}-4ab-15=-2×2^{2}+(-2)^{2}-4×2×(-2)-15=-8+4+16-15=-3$.

8. (整体思想)已知 $ a - 2b + 1 $ 的值是 $ -1 $,则 $ 3(a - 2b) - 2a + 4b $ 的值是(D)
A.$ -4 $
B.$ -10 $
C.$ 0 $
D.$ -2 $

答案： D 解析:先化简多项式,再变形已知得$a-2b=-2$,最后整体代入求值.

9. (整体思想)已知 $ a + b = -4 $, $ ab = 3 $,求代数式 $ 2[ab + (-3a)] - 3(2b - ab) $ 的值。

答案： 原式$=5ab-6a-6b=5ab-6(a+b)$.将$a+b=-4,ab=3$代入,得原式$=5×3-6×(-4)=39$.

10. (新考法·新定义题)定义一种运算： $ \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc $,例如： $ \begin{vmatrix}2&a\\-1&b\end{vmatrix} = 2 × b - a × (-1) = 2b + a $。
(1)求 $ \begin{vmatrix}5&9x - 2xy - y + 7\\1&\frac{1}{2}xy - 2y\end{vmatrix} $ 的结果,并写出结果是几次几项式；
(2)若 $ |x - 3 + y| $ 与 $ (xy + 4)^{2} $ 互为相反数,求(1)中式子的值。

答案： （1）原式$=5(\frac{1}{2}xy-2y)-(9x-2xy-y+7)=\frac{9}{2}xy-9x-9y-7$,结果是二次四项式.
（2）因为$|x-3+y|$与$(xy+4)^{2}$互为相反数,所以$|x-3+y|+(xy+4)^{2}=0$.所以$x-3+y=0,xy+4=0$.整理,得$x+y=3,xy=-4$.所以原式$=\frac{9}{2}xy-9(x+y)-7=\frac{9}{2}×(-4)-9×3-7=-52$.