《2025年精练课堂分层作业七年级数学上册北师大版》

1. 如图,点$C在线段AB$上,点$M$,$N分别是AC$,$BC$的中点。

(1) 若$AC = 9\ \mathrm{cm}$,$CB = 6\ \mathrm{cm}$,则$MN = $7.5$\mathrm{cm}$；
(2) 若$AC = a\ \mathrm{cm}$,$CB = b\ \mathrm{cm}$,则$MN = $$\frac{1}{2}(a + b)$$\mathrm{cm}$；
(3) 若$AB = m\ \mathrm{cm}$,求线段$MN$的长；
解：因为点$M$是$AC$的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC$；因为点$N$是$BC$的中点，所以$CN=\frac{1}{2}BC$；则$MN=MC + CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC + BC)$；又因为$AC + BC=AB=m\mathrm{cm}$，所以$MN=\frac{1}{2}m\mathrm{cm}$。
(4) 若$C为线段AB$上任一点,且$AB = n\ \mathrm{cm}$,其他条件不变,你能猜想$MN$的长度吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论。
猜想$MN=\frac{1}{2}n\mathrm{cm}$。结论：若$C$为线段$AB$上一点，$M$，$N$分别是$AC$，$BC$的中点，则$MN$的长等于$AB$长的一半。
变式1
若$MN = k\ \mathrm{cm}$,求线段$AB$的长。
因为$MN=\frac{1}{2}AB$，$MN = k\mathrm{cm}$，所以$AB = 2k\mathrm{cm}$。
变式2
若$C在线段AB$的延长线上,且满足$AB = p\ \mathrm{cm}$,$M$,$N分别为AC$,$BC$的中点,你能猜想$MN$的长度吗？请画出图形,并说明理由。
图形：先画线段$AB$，再延长$AB$，在延长线上取一点$C$，然后分别取$AC$，$BC$的中点$M$，$N$。理由：因为点$M$是$AC$的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC$；因为点$N$是$BC$的中点，所以$CN=\frac{1}{2}BC$；则$MN=MC - CN=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC - BC)$；又因为$AC - BC=AB=p\mathrm{cm}$，所以$MN=\frac{1}{2}p\mathrm{cm}$。

答案： 1. （1）
因为点$M$是$AC$的中点，$AC = 9\mathrm{cm}$，所以$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×9 = 4.5\mathrm{cm}$；
因为点$N$是$BC$的中点，$CB = 6\mathrm{cm}$，所以$CN=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}×6 = 3\mathrm{cm}$；
则$MN=MC + CN=4.5 + 3=7.5\mathrm{cm}$。
2. （2）
因为点$M$是$AC$的中点，$AC = a\mathrm{cm}$，所以$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a\mathrm{cm}$；
因为点$N$是$BC$的中点，$CB = b\mathrm{cm}$，所以$CN=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}b\mathrm{cm}$；
则$MN=MC + CN=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b=\frac{1}{2}(a + b)\mathrm{cm}$。
3. （3）
解：因为点$M$是$AC$的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC$；
因为点$N$是$BC$的中点，所以$CN=\frac{1}{2}BC$；
则$MN=MC + CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC + BC)$；
又因为$AC + BC=AB=m\mathrm{cm}$，所以$MN=\frac{1}{2}m\mathrm{cm}$。
4. （4）
猜想$MN=\frac{1}{2}n\mathrm{cm}$。
结论：若$C$为线段$AB$上一点，$M$，$N$分别是$AC$，$BC$的中点，则$MN$的长等于$AB$长的一半。
5. 变式1：
因为$MN=\frac{1}{2}AB$，$MN = k\mathrm{cm}$，所以$AB = 2k\mathrm{cm}$。
6. 变式2：
图形：
先画线段$AB$，再延长$AB$，在延长线上取一点$C$，然后分别取$AC$，$BC$的中点$M$，$N$。
理由：
解：因为点$M$是$AC$的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC$；
因为点$N$是$BC$的中点，所以$CN=\frac{1}{2}BC$；
则$MN=MC - CN=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC - BC)$；
又因为$AC - BC=AB=p\mathrm{cm}$，所以$MN=\frac{1}{2}p\mathrm{cm}$。
综上，答案依次为：（1）$7.5$；（2）$\frac{1}{2}(a + b)$；（3）$\frac{1}{2}m\mathrm{cm}$；（4）$MN=\frac{1}{2}n\mathrm{cm}$，若$C$为线段$AB$上一点，$M$，$N$分别是$AC$，$BC$的中点，则$MN$的长等于$AB$长的一半；变式1：$2k\mathrm{cm}$；变式2：$MN=\frac{1}{2}p\mathrm{cm}$。

2. 如图,线段$AB = 16$,点$C是线段AB$的中点,点$D是线段BC$的中点。

(1) 如图①,求线段$AD$的长；
(2) 如图②,点$N是线段AC$上的一点,且满足$NC = 3AN$,求$DN$的长度；
(3) 在(2)的条件下,点$M是线段AB$上的一点,且$MC = 2$,求$MN$的长。

答案：
(1)
∵C是AB中点，AB=16，
∴AC=CB=AB/2=8。
∵D是BC中点，
∴CD=CB/2=4。
∴AD=AC+CD=8+4=12。
(2)
∵N在AC上，AC=8，NC=3AN，设AN=x，则NC=3x。
∴x+3x=8，解得x=2。
∴AN=2，NC=6。
∵CD=4，
∴DN=NC+CD=6+4=10。
(3)
∵MC=2，C为AB中点（位置8，设A=0，B=16），
∴M位置为8-2=6或8+2=10。
∵N位置为AN=2（即2），
当M=6时，MN=6-2=4；
当M=10时，MN=10-2=8。
∴MN=4或8。

3. 如图,数轴上$A$,$B两点对应的有理数分别为10和15$,点$P从点A$出发,以每秒$1$个单位长度的速度沿数轴正方向运动,点$Q同时从原点O$出发,以每秒$2$个单位长度的速度沿数轴正方向运动,设运动时间为$t$秒。

(1) 当$0 ＜ t ＜ 5$时,用含$t$的式子填空：$BP = $$5 - t$,$AQ = $$10 - 2t$；
(2) 当$t = 2$时,求$PQ$的值；
8
(3) 当$PQ = \frac{1}{2}AB$时,求$t$的值。
$7.5$或$12.5$

答案：
(1)$5 - t$，$10 - 2t$；
(2)$8$；
(3)$7.5$或$12.5$。