《2025年精练课堂分层作业七年级数学上册北师大版》

6. 观察等式：$ \frac{1}{1×3}= \frac{1}{2}×(1 - \frac{1}{3}) $,$ \frac{1}{3×5}= \frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}) $,$ \frac{1}{5×7}= \frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}) $,…
(1) 猜想并写出第 $ n $ 个等式；
(2) 计算：$ \frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{2021×2023} $。

答案：
(1)第$n$个等式为$\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{1}{2}×(\frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1})$。
(2)
$\begin{aligned}&\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\cdots+\frac{1}{2021×2023}\\=&\frac{1}{2}×(1 - \frac{1}{3})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{3} - \frac{1}{5})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{5} - \frac{1}{7})+\cdots+\frac{1}{2}×(\frac{1}{2021} - \frac{1}{2023})\\=&\frac{1}{2}×(1 - \frac{1}{3}+\frac{1}{3} - \frac{1}{5}+\frac{1}{5} - \frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{2021} - \frac{1}{2023})\\=&\frac{1}{2}×(1 - \frac{1}{2023})\\=&\frac{1}{2}×\frac{2022}{2023}\\=&\frac{1011}{2023}\end{aligned}$

7. 观察下面的图案和算式,解答问题。

$ 1 + 3 = 4 = 2^{2} $,
$ 1 + 3 + 5 = 9 = 3^{2} $,
$ 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^{2} $,
$ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5^{2} $,
…
(1) 计算：$ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = $36；
(2) 计算：$ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + 19 = $100；
(3) 计算：$ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + (2n - 1) = $$n^{2}$；
(4) 请用上述规律计算：$ 21 + 23 + 25 + … + 99 $。

答案：
(1)
由规律可得$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11=6^{2}=36$。
(2)
从$1$到$19$的连续奇数相加，一共有$\frac{19 + 1}{2}=10$个奇数，所以$1 + 3 + 5 + 7 + 9+\cdots+19 = 10^{2}=100$。
(3)
从$1$到$2n - 1$的连续奇数相加，一共有$\frac{2n - 1+1}{2}=n$个奇数，所以$1 + 3 + 5 + 7 + 9+\cdots+(2n - 1)=n^{2}$。
(4)
$21 + 23 + 25+\cdots+99$
$=(1 + 3 + 5+\cdots+99)-(1 + 3 + 5+\cdots+19)$
从$1$到$99$的连续奇数有$\frac{99 + 1}{2}=50$个，所以$1 + 3 + 5+\cdots+99 = 50^{2}=2500$；
从$1$到$19$的连续奇数有$\frac{19 + 1}{2}=10$个，所以$1 + 3 + 5+\cdots+19 = 10^{2}=100$。
则$21 + 23 + 25+\cdots+99=2500 - 100 = 2400$。
综上，答案依次为：
(1)$36$；
(2)$100$；
(3)$n^{2}$；
(4)$2400$。