《2025年精练课堂分层作业七年级数学上册北师大版》

7. 下图是用火柴棍摆成的边长分别是1,2,3根火柴棍长的正方形,当边长为10根火柴棍长时,摆出的正方形所用的火柴棍的根数为220.

答案： 220

8. 框图①是某年11月的日历,用图②的“Z”字型方框框住日历中的五个数,这五个数从小到大依次为$A$,$B$,$C$,$D$,$E$.这五个数的和能被5整除吗？为什么？
甲同学设$A = x$,通过计算得出结论；
乙同学说自己设$C = x$更简单,请你来试一试.
小明受到启发,改编了一道题目,请你来解答.
代数式$A - 2B + 3C + 4D - 6E$的值是否为定值？若是,请求出它的值；若不是,请说明理由.

答案： 第一问：五个数的和能被5整除吗？
设$ C = x $，根据日历中数的关系（同行相邻数差1，同列相邻数差7）：
$ B $在$ C $上一行，故$ B = x - 7 $；
$ A $在$ B $左侧，故$ A = B - 1 = (x - 7) - 1 = x - 8 $；
$ D $在$ C $下一行，故$ D = x + 7 $；
$ E $在$ D $右侧，故$ E = D + 1 = (x + 7) + 1 = x + 8 $。
五个数之和：
$ A + B + C + D + E = (x - 8) + (x - 7) + x + (x + 7) + (x + 8) = 5x $
$ 5x $是5的倍数，故能被5整除。
第二问：代数式$ A - 2B + 3C + 4D - 6E $是否为定值？
将$ A = x - 8 $，$ B = x - 7 $（此处修正：应为$ B = x - 7 $），$ C = x $，$ D = x + 7 $，$ E = x + 8 $代入代数式：
$\begin{aligned}&A - 2B + 3C + 4D - 6E \\=&(x - 8) - 2(x - 7) + 3x + 4(x + 7) - 6(x + 8) \\=&x - 8 - 2x + 14 + 3x + 4x + 28 - 6x - 48 \\=&(1 - 2 + 3 + 4 - 6)x + (-8 + 14 + 28 - 48) \\=&0x - 14 \\=&-14\end{aligned}$
故代数式的值为定值，值为$-14$。
结论：
1. 五个数的和能被5整除；
2. 代数式的值为定值$-14$。

数学建模是数学的核心素养之一.小明在计算$\frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + ⋯ + \frac{1}{3^{n}}$时利用了下图中的正方形模型.
设正方形的面积为1,第1次分割,把正方形的面积三等分,阴影部分的面积为$\frac{2}{3}$；
第2次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续三等分,阴影部分的面积之和为$\frac{2}{3} + \frac{2}{3^{2}}$；
第3次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续三等分,阴影部分的面积之和为$\frac{2}{3} + \frac{2}{3^{2}} + \frac{2}{3^{3}}$；
……
由此计算$\frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + ⋯ + \frac{1}{3^{n}}$的结果是$\frac{3^n - 1}{2 \cdot 3^n}$.(用含$n$的代数式表示)

答案： $\frac{3^n - 1}{2 \cdot 3^n}$