《2025年精练课堂分层作业七年级数学上册北师大版》

4. 定义新运算“$*$”：$a*b= \begin{cases}a - b(a\geqslant b)\\3b(a\lt b)\end{cases} $,当$x = 3$时,计算$2*x - 4*x$的结果为8。

答案： 当$x = 3$时：
1. 计算$2*x$：
因为$2 ＜ 3$，根据定义$a*b = 3b$（$a ＜ b$），所以$2*3 = 3×3 = 9$。
2. 计算$4*x$：
因为$4 ＞ 3$，根据定义$a*b = a - b$（$a \geq b$），所以$4*3 = 4 - 3 = 1$。
3. 计算$2*x - 4*x$：
$2*x - 4*x = 9 - 1 = 8$。
结果为$8$。

5. 已知$A = 2x^{2}-5xy + 3y^{2}$,$B = 2xy - 3y^{2}+4x^{2}$。
(1) 求$2A - B$；
(2) 当$x = 3$,$y = -\frac{1}{3}$时,求$2A - B$的值。

答案：
(1)
∵ $ A = 2x^{2} - 5xy + 3y^{2} $, $ B = 2xy - 3y^{2} + 4x^{2} $
∴ $ 2A - B = 2(2x^{2} - 5xy + 3y^{2}) - (2xy - 3y^{2} + 4x^{2}) $
$ = 4x^{2} - 10xy + 6y^{2} - 2xy + 3y^{2} - 4x^{2} $
$ = (4x^{2} - 4x^{2}) + (-10xy - 2xy) + (6y^{2} + 3y^{2}) $
$ = -12xy + 9y^{2} $
(2)
当 $ x = 3 $, $ y = -\frac{1}{3} $ 时,
$ 2A - B = -12×3×(-\frac{1}{3}) + 9×(-\frac{1}{3})^{2} $
$ = 12 + 9×\frac{1}{9} $
$ = 12 + 1 $
$ = 13 $

6. 如图,规定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式。
(1) 求整式$M$；
(2) 求整式$P$,当$x = -2$,$y = 3$时,计算整式$P$的值。

答案：
(1) 由题意得：$ (x^2 + 3x - 1) + M = 2x^2 - 5 $
$ M = 2x^2 - 5 - (x^2 + 3x - 1) $
$ = 2x^2 - 5 - x^2 - 3x + 1 $
$ = x^2 - 3x - 4 $
(2) 由题意得：$ N = 2(xy + y^2) + (3x^2 - 4xy - 2y^2) $
$ = 2xy + 2y^2 + 3x^2 - 4xy - 2y^2 $
$ = 3x^2 - 2xy $
$ P = (2x^2 - 5) + N = (2x^2 - 5) + (3x^2 - 2xy) $
$ = 5x^2 - 2xy - 5 $
当$ x = -2 $，$ y = 3 $时，
$ P = 5×(-2)^2 - 2×(-2)×3 - 5 $
$ = 5×4 + 12 - 5 $
$ = 20 + 12 - 5 $
$ = 27 $
(1) $ M = x^2 - 3x - 4 $
(2) $ P = 5x^2 - 2xy - 5 $，值为$ 27 $

1. 把多项式$-3x^{2}-2x + y - xy + y^{2}$一次项结合起来,放在前面带有“$+$”号的括号里,二次项结合起来,放在前面带有“$-$”号的括号里,等于(D)
A.$(-2x + y - xy) - (3x^{2}-y^{2})$
B.$(2x + y) - (3x^{2}-xy + y^{2})$
C.$(-2x + y) - (-3x^{2}-xy + y^{2})$
D.$(-2x + y) - (3x^{2}+xy - y^{2})$

答案： D

2. 已知$xy = -2$,$x + y = 3$,求整式$(3xy + 10y)+[5x - (2xy + 2y - 3x)]$的值。

答案： 22

3. 已知$a是-1$,且$a$,$b$,$c满足(c - 6)^{2}+\vert 2a + b\vert = 0$,请回答下列问题：
(1) 直接写出$b$,$c$的值：$b = $2,$c = $6。
(2) 在数轴上,$a$,$b$,$c对应的点分别为A$,$B$,$C$,点$P$为动点,其对应的数为$x$。

① 若点$P在AB$间运动(不包括$A$,$B$),求$P点与A$,$B$,$C$三点的距离之和。
② 若点$P从A$点出发,向右运动,请根据运动的不同情况,化简式子：$\vert x + 1\vert - \vert x - 2\vert + 2\vert x - 6\vert$。(请写出化简过程)
(2) ① 因为点P在AB间运动（不包括A、B），所以$-1 ＜ x ＜ 2$。
$PA = x - (-1) = x + 1$，$PB = 2 - x$，$PC = 6 - x$。
距离之和：$(x + 1) + (2 - x) + (6 - x) = 9 - x$。
② 分情况讨论：
当$-1 \leq x ＜ 2$时，
$\vert x + 1\vert - \vert x - 2\vert + 2\vert x - 6\vert = (x + 1) - (2 - x) + 2(6 - x) = x + 1 - 2 + x + 12 - 2x = 11$；
当$2 \leq x ＜ 6$时，
$\vert x + 1\vert - \vert x - 2\vert + 2\vert x - 6\vert = (x + 1) - (x - 2) + 2(6 - x) = x + 1 - x + 2 + 12 - 2x = -2x + 15$；
当$x \geq 6$时，
$\vert x + 1\vert - \vert x - 2\vert + 2\vert x - 6\vert = (x + 1) - (x - 2) + 2(x - 6) = x + 1 - x + 2 + 2x - 12 = 2x - 9$。

答案：
(1) 2；6
(2) ① 因为点P在AB间运动（不包括A、B），所以$-1 ＜ x ＜ 2$。
$PA = x - (-1) = x + 1$，$PB = 2 - x$，$PC = 6 - x$。
距离之和：$(x + 1) + (2 - x) + (6 - x) = 9 - x$。
② 分情况讨论：
当$-1 \leq x ＜ 2$时，
$\vert x + 1\vert - \vert x - 2\vert + 2\vert x - 6\vert = (x + 1) - (2 - x) + 2(6 - x) = x + 1 - 2 + x + 12 - 2x = 11$；
当$2 \leq x ＜ 6$时，
$\vert x + 1\vert - \vert x - 2\vert + 2\vert x - 6\vert = (x + 1) - (x - 2) + 2(6 - x) = x + 1 - x + 2 + 12 - 2x = -2x + 15$；
当$x \geq 6$时，
$\vert x + 1\vert - \vert x - 2\vert + 2\vert x - 6\vert = (x + 1) - (x - 2) + 2(x - 6) = x + 1 - x + 2 + 2x - 12 = 2x - 9$。