《2025年新课程示径学案作业设计七年级数学上册苏科版》

28. 【操作要求】小明在等边三角形内取一定数量的点,连同等边三角形的3个顶点,以这些点为顶点剪三角形,要求剪出最多的小三角形.
【问题提出】小明想知道当等边三角形内有40个点时,最多可以剪出多少个小三角形？
【问题解决】

(1)小明先分析了等边三角形内有1个点情况(如图①),最多可以剪出3个小三角形；在图①的基础上,增加一个点,形成了等边三角形内有2个点的两种情况：新增点在分割线外(图②)和在分割线上(图③),两种情况都最多可以剪出5个小三角形.小明得出结论：等边三角形内有2个点,最多可以剪出5个小三角形.

① 小明在2个点的基础上,继续研究了等边三角形内有3个点的情况：

(ⅰ)请在图②和图③中画出等边三角形内有3个点时最多能剪出的小三角形的情况；
(ⅱ)得出结论：等边三角形内有3个点,最多能剪出7个小三角形.
② 当等边三角形内有4个点时,最多能剪出9个小三角形；
③ 发现规律：三角形内部的点每增加一个,最多可以剪出的小三角形个数增加2个；
④ 根据以上规律,当等边三角形内有n个点时,最多可以剪出的小三角形的个数是2n + 1个；
⑤ 当等边三角形内有40个点时候,最多可以剪出的小三角形的个数是81个.
【问题拓展】
(2)如图,将边长为1的等边三角形每一条边三等分,并以中间的那一条线段为底边向外作等边三角形,然后去掉底边得到第2个图形；将第2个图形的每条边三等分,重复上述的作图方法,得到第3个图形；再按上述方法无限多次继续作下去,得到的图形称为科克雪花曲线.

① 第n个图形中边的数量为$3×4^{n - 1}$；② 第n个图形中图形的周长为$(\frac{4}{3})^{n - 1}×3$.(结果用含有n的代数式表示)
$□$

答案： （1）①（i） 图②（在原分割线外新增点并连接形成新分割，产生7个小三角形的情况示意可画）；图③（在原分割线上新增点并连接形成新分割，产生7个小三角形的情况示意可画）
（ii）7
② 9
③ 2
④ $2n + 1$
⑤ 81
（2）① $3×4^{n - 1}$
② $(\frac{4}{3})^{n - 1}×3$