《2025年新课程示径学案作业设计七年级数学上册苏科版》

4. $a$,$b$互为相反数,$c$,$d$互为倒数,$|x|= 5$.试求$x^2-(a+b+cd)x+(a+b)^{2024}+(-cd)^{2025}$的值.$□$

答案： 根据题意：
$a$ 和 $b$ 互为相反数，所以 $a + b = 0$，
$c$ 和 $d$ 互为倒数，所以 $cd = 1$，
$|x| = 5$，则 $x$ 的可能值为 $5$ 或 $-5$。
将上述值代入原式进行计算：
当 $x = 5$ 时，
$x^2 - (a + b + cd)x + (a + b)^{2024} + (-cd)^{2025}$
$= 5^2 - (0 + 1) × 5 + 0^{2024} + (-1)^{2025}$
$= 25 - 5 + 0 - 1$
$= 19$
当 $x = -5$ 时，
$x^2 - (a + b + cd)x + (a + b)^{2024} + (-cd)^{2025}$
$= (-5)^2 - (0 + 1) × (-5) + 0^{2024} + (-1)^{2025}$
$= 25 + 5 + 0 - 1$
$= 29$
所以，原式的值可以是 $19$ 或 $29$。

5. 计算：$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{99×100}$.$□$
解：原式$=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+…+(\frac{1}{99}-\frac{1}{100})$
　　　　$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}= 1-\frac{1}{100}= \frac{99}{100}$.
观察下列各式：$\frac{1}{1×3}= \frac{1}{2}(1-\frac{1}{3})$,$\frac{1}{3×5}= \frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$,$\frac{1}{5×7}= \frac{1}{2}(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})…$
仿照这种算法,计算$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+…+\frac{1}{99×101}$.

答案： 解：原式$=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+…+\frac{1}{2}(\frac{1}{99}-\frac{1}{101})$
　　　　$=\frac{1}{2}[ (1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+…+(\frac{1}{99}-\frac{1}{101}) ]$
　　　　$=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{101})$
　　　　$=\frac{1}{2}×\frac{100}{101}$
　　　　$=\frac{50}{101}$

6. 若$a$,$b$是有理数,试计算$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{ab}{|ab|}$的值.$□$

答案： 当a,b为有理数且a≠0,b≠0时：
1. 若a＞0,b＞0：$\frac{a}{|a|}=1$，$\frac{b}{|b|}=1$，$ab＞0$，$\frac{ab}{|ab|}=1$，原式$=1+1+1=3$；
2. 若a＞0,b＜0：$\frac{a}{|a|}=1$，$\frac{b}{|b|}=-1$，$ab＜0$，$\frac{ab}{|ab|}=-1$，原式$=1-1-1=-1$；
3. 若a＜0,b＞0：$\frac{a}{|a|}=-1$，$\frac{b}{|b|}=1$，$ab＜0$，$\frac{ab}{|ab|}=-1$，原式$=-1+1-1=-1$；
4. 若a＜0,b＜0：$\frac{a}{|a|}=-1$，$\frac{b}{|b|}=-1$，$ab＞0$，$\frac{ab}{|ab|}=1$，原式$=-1-1+1=-1$。
综上，原式的值为3或-1。