《2025年绩优学案七年级数学上册人教版》

【例1】某机械厂加工车间有27名工人,平均每人每天加工小齿轮12个或大齿轮10个,2个大齿轮和3个小齿轮配成一套,则需分别安排多少名工人加工大、小齿轮,才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？
解题关键 明确2个大齿轮和3个小齿轮配成一套,根据此数量关系列方程求解。

答案： 设安排$x$名工人加工大齿轮，则加工小齿轮的工人有$(27 - x)$名。
根据题意，大齿轮总数为$10x$个，小齿轮总数为$12(27 - x)$个。
由于$2$个大齿轮和$3$个小齿轮配成一套，齿轮配套需满足：
$\frac{10x}{2} = \frac{12(27 - x)}{3}$
化简方程：
$5x = 4(27 - x)$
$5x = 108 - 4x$
$9x = 108$
$x = 12$
加工小齿轮的工人数为：
$27 - x = 27 - 12 = 15$
答：需安排$12$名工人加工大齿轮，$15$名工人加工小齿轮。

【例2】某城市的美化工程招标中,有甲、乙两个工程队投标。经测算,甲队单独完成这项工程需要60天,乙队单独完成这项工程需要90天。若由甲队先做20天,剩下的工程由甲、乙两队合作完成。
(1)完成该工程甲、乙两队需合作多少天？
(2)甲队施工一天需付工程款3.5万元,乙队施工一天需付工程款2万元。若该工程计划在70天内完成,在不超过计划天数的前提下,是由甲队或乙队单独完成该工程省钱,还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？
解题关键 (1)根据题意寻找等量关系,再列方程求解；(2)把在工期内的各种情况进行比较即可。

答案： （1）设完成该工程甲、乙两队需合作$x$天，
由题意得，甲队一天完成工程的$\frac{1}{60}$，乙队一天完成工程的$\frac{1}{90}$，
甲队先做20天，完成了工程的$\frac{1}{60} × 20 = \frac{1}{3}$，
剩下的工程由甲、乙两队合作完成，即：
$\frac{1}{3} + (\frac{1}{60} + \frac{1}{90})x = 1$
$\frac{1}{3} + \frac{5}{180}x = 1$
$\frac{5}{180}x = \frac{2}{3}$
$x = 24$
答：完成该工程甲、乙两队需合作24天。
（2）
甲队单独完成需付：$3.5 × 60 = 210$（万元），
乙队单独完成需付：$2 × 90 = 180$（万元），
但乙队单独完成耗时超过70天，不符合题意，
甲、乙两队全程合作完成需付：
因为甲乙合作一天花费$3.5 + 2 = 5.5$（万元），
甲乙合作完成天数：
$1 ÷ (\frac{1}{60} + \frac{1}{90}) = 36$（天）
所以总费用为：$5.5 × 36 = 198$（万元），
因为$210＞ 198$，
所以由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱。