《2025年绩优学案七年级数学上册人教版》

8. 解方程：$\frac{1 - 6x}{15} - \frac{1 - x}{6} = - \frac{2x - 1}{5} + \frac{2x + 1}{18}$。

答案： $x = \frac{32}{5}$

9. 有一列火车以每分600m的速度通过第一、第二两座铁桥,通过第二座铁桥比通过第一座铁桥的时间多5s,又知第二座铁桥的长度比第一座铁桥的长度的2倍少50m,则这两座铁桥的长度分别为多少米？(不考虑火车的长度)

答案： 设第一座铁桥的长度为$x$米，则第二座铁桥的长度为$(2x - 50)$米。
火车速度为$600$米/分，换算为秒速：$600÷60 = 10$米/秒。
通过第一座铁桥的时间为$\frac{x}{10}$秒，通过第二座铁桥的时间为$\frac{2x - 50}{10}$秒。
依题意，通过第二座铁桥比第一座多$5$秒，列方程：
$\frac{2x - 50}{10} - \frac{x}{10} = 5$
化简方程：
$\frac{(2x - 50) - x}{10} = 5 \implies \frac{x - 50}{10} = 5$
解得：
$x - 50 = 50 \implies x = 100$
第二座铁桥长度：$2x - 50 = 2×100 - 50 = 150$
答：第一座铁桥长$100$米，第二座铁桥长$150$米。

10. 清朝诗人徐子云在《算法大成》中有一首诗：
巍巍古寺在山林,不知寺中几多僧。
三百六十四只碗,众僧刚好都用尽。
三人共食一碗饭,四人共吃一碗羹。
请问先生明算者,算来寺内几多僧？
诗的意思是：3个僧人吃一碗饭,4个僧人吃一碗羹,刚好用了364只碗,请问寺内有多少个僧人？

答案： 设寺内有$x$个僧人。
根据题意，三人共食一碗饭，则饭碗的数量为$\frac{x}{3}$；
四人共吃一碗羹，则羹碗的数量为$\frac{x}{4}$。
根据题意，饭碗和羹碗的总数为364，所以我们可以得到方程：
$\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 364$
为了解这个方程，我们首先需要去分母。为此，我们找到分母3和4的最小公倍数，即12，然后将方程的两边都乘以12：
$12 × \frac{x}{3} + 12 × \frac{x}{4} = 12 × 364$
$4x + 3x = 4368$
$7x = 4368$
$x = 624$
答：寺内有624个僧人。