《2025年绩优学案七年级数学上册人教版》

9. 某超市的苹果价格如图3 - 1 - 1 - 3所示,试说明代数式$100 - 7.9x$的实际意义：用100元买每千克7.9元的苹果x千克后剩余的钱数。。

答案： 用100元买每千克7.9元的苹果x千克后剩余的钱数。

10. 观察下列一系列等式：
①$2^{1}-2^{0}= 2 - 1 = 2^{0}$；
②$2^{2}-2^{1}= 4 - 2 = 2^{1}$；
③$2^{3}-2^{2}= 8 - 4 = 2^{2}$；
④______；
……
(1)请按这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式：______；
(2)根据你上面所发现的规律,用含字母$n的式子表示第n$个式子：______；
(3)请利用上述规律计算：$2^{1}+2^{2}+2^{3}+…+2^{2024}$。
(1)$2^{4}-2^{3}= 16 - 8 = 2^{3}$
(2)$2^{n}-2^{n - 1}=2^{n - 1}$
(3)$2^{2025}-2$

答案：
(1) 第④个等式：$2^{4}-2^{3}= 16 - 8 = 2^{3}$；
(2) 第$n$个式子：$2^{n}-2^{n - 1}=2^{n - 1}$；
(3)
因为$2^{1}-2^{0}=2^{0}$；
$2^{2}-2^{1}=2^{1}$；
$2^{3}-2^{2}=2^{2}$；
$\cdots$
$2^{2024}-2^{2023}=2^{2023}$；
$2^{2025}-2^{2024}=2^{2024}$；
令$S = 2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2024}$，
可以发现$S=2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2024}=(2^{2}-2^{1})+(2^{3}-2^{2})+\cdots+(2^{2025}-2^{2024}) = 2^{2025}-2$。
综上，答案依次为：
(1)$2^{4}-2^{3}= 16 - 8 = 2^{3}$；
(2)$2^{n}-2^{n - 1}=2^{n - 1}$；
(3)$2^{2025}-2$。