《2025年绩优学案七年级数学上册人教版》

【例1】某校七年级进行国家安全知识竞赛,共有30道题,答对一道题得4分,不答或答错一道题扣2分。
(1)小红同学参加了竞赛,成绩是96分,请问小红在竞赛中答对了多少道题？
(2)乐乐也参加了竞赛,考完后他说：“这次竞赛我一定能拿到110分。”请问乐乐有没有可能拿到110分？试用方程的知识来说明理由。
解题关键 根据题中等量关系列出关于小红、乐乐答对题数的一元一次方程,解方程即可得出结论。

答案：
(1)设小红在竞赛中答对了$x$道题，
因为共有$30$道题，则不答或答错$(30 - x)$道题。
根据得分规则，答对一道题得$4$分，不答或答错一道题扣$2$分，小红成绩是$96$分，可列方程：
$4x - 2(30 - x) = 96$
去括号得：$4x - 60 + 2x = 96$
移项得：$4x + 2x = 96 + 60$
合并同类项得：$6x = 156$
系数化为$1$得：$x = 26$
(2)设乐乐答对了$y$道题，则不答或答错$(30 - y)$道题。
根据得分规则可列方程：
$4y - 2(30 - y) = 110$
去括号得：$4y - 60 + 2y = 110$
移项得：$4y + 2y = 110 + 60$
合并同类项得：$6y = 170$
系数化为$1$得：$y=\frac{170}{6}=\frac{85}{3}=28\frac{1}{3}$
因为题数必须为整数，而$28\frac{1}{3}$不是整数，所以乐乐不可能拿到$110$分。
综上，
(1)小红在竞赛中答对了$26$道题；
(2)乐乐不可能拿到$110$分。

【例2】甲、乙两人在环形跑道上练习跑步,已知环形跑道长400 m,乙每秒跑3 m,甲每秒跑4 m。
(1)如果甲、乙两人在跑道上相距8 m处同时反向出发,那么经过多少秒后两人首次相遇？
(2)如果甲在乙前面8 m处,两人同时同向出发,那么经过多少秒后两人首次相遇？
解题关键 (1)是相遇问题,两人的路程之和为(400 - 8)m；(2)是追及问题,甲比乙多跑392 m。

答案： （1）设经过$x$秒后两人首次相遇。
根据题意，甲和乙两人反向跑步，所以他们的相对速度为$4+3=7（m/s）$。
由于他们起始时相距8m，而跑道总长为400m，所以他们需要跑过的相对距离为$400 - 8 = 392（m）$。
根据速度和时间的关系，有：
$7x = 392$，
解得$x = 56$。
所以，经过56秒后两人首次相遇。
（2）设经过$y$秒后两人首次相遇。
甲和乙同向跑步，甲的速度比乙快，所以甲的相对速度为$4-3=1（m/s）$。
甲要追上乙，需要多跑的距离为$400 - 8 = 392（m）$。
根据速度和时间的关系，有：
$1× y = 392$，
解得$y = 392$。
所以，经过392秒后两人首次相遇。