《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版宿迁专版》

10. 在数学学习中,我们必须记住常用的三个无理数 $\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$ 和 $\pi$ 的近似值,它们精确到千分位的值分别为 $\sqrt{2}\approx1.414$,$\sqrt{3}\approx1.732$,$\pi\approx3.142$.不使用计算器,求下列各式的值.
(1)$\pi-\frac{\sqrt{2}}{2}+2\sqrt{3}+\frac{1}{3}$(精确到 $0.01$)；
(2)$3\sqrt{2}-\sqrt{3}+2\pi - 1$(精确到个位).

答案：
(1)原式≈3.142-1.414÷2+2×1.732+0.333=6.232≈6.23.
(2)原式≈3×1.414-1.732+2×3.142-1=7.794≈8.

11. 车工小王加工生产了两根轴,当他把轴交给质检员验收时,质检员说：“不合格,作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到 $2.60$ m,一根为 $2.56$ m,另一根为 $2.62$ m,怎么不合格？”
(1)图纸要求精确到 $2.60$ m,原轴长 $x$ 的取值范围是多少？
(2)你认为是小王加工的轴不合格,还是质检员故意刁难？

答案： $(1)$ 求原轴长$x$的取值范围
解：根据近似数的精确度，精确到$2.60m$，即精确到百分位。
当$x$通过“四舍”得到$2.60$时，$x$最大为$2.604$（因为千分位上的数字小于$5$舍去，此时$x$最大）；
当$x$通过“五入”得到$2.60$时，$x$最小为$2.595$（因为千分位上的数字大于或等于$5$向百分位进$1$，此时$x$最小）。
所以原轴长$x$的取值范围是$2.595\leqslant x\lt2.605$。
$(2)$ 判断轴是否合格
因为$2.56\lt2.595$，$2.62\gt2.605$，即小王加工的两根轴都不在$2.595\leqslant x\lt2.605$这个取值范围内。
所以是小王加工的轴不合格，不是质检员故意刁难。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{2.595\leqslant x\lt2.605}$；$(2)$小王加工的轴不合格 。

12. 小丽和小明在讨论下面的问题.小丽：“如果把 $7498$ 精确到千位,就会得到 $7×10^{3}$.”小明：“不.我有另外一种解答方法,可以得到不同的答案.首先,将 $7498$ 精确到百位,得到 $7500$,接着再把 $7500$ 精确到千位,就得到 $8000$.”你怎样评价小丽和小明的说法？

答案： 小丽的说法正确,小明的说法错误.将7498精确到千位,只要将百位上的数字四舍五入即可.

13. 我们把由四舍五入法对非负有理数 $x$ 精确到个位的值记为 $\lt x\gt$.如：$\lt0\gt=\lt0.48\gt = 0$,$\lt0.64\gt=\lt1.493\gt = 1$,$\lt2\gt = 2$,$\lt2.5\gt=\lt3.12\gt = 3$,…
解决下列问题.
(1)填空：①若 $\lt x\gt = 6$,则 $x$ 的取值范围是5.5≤x＜6.5；
②若 $\lt x\gt=\frac{4}{3}x$,则 $x$ 的值是0,$\frac{3}{4}$,$\frac{3}{2}$；
(2)若 $m$ 为正整数,求证：$\lt x + m\gt=\lt x\gt + m$ 恒成立.

答案：
(1)①5.5≤x＜6.5 ②0,$\frac{3}{4}$,$\frac{3}{2}$
(2)证明:设x=n+a,其中n为x的整数部分(n为非负整数),a为x的小数部分(0≤a＜1).分两种情况:①当0≤a＜$\frac{1}{2}$时,有＜x＞=n.
∵x+m=(n+m)+a,这时n+m为x+m的整数部分,a为x+m的小数部分,
∴＜x+m＞=n+m.又＜x＞+m=n+m,
∴＜x+m＞=＜x＞+m.②当$\frac{1}{2}$≤a＜1时,有＜x＞=n+1.
∵x+m=(n+m)+a,这时n+m为x+m的整数部分,a为x+m的小数部分,
∴＜x+m＞=n+m+1.又＜x＞+m=n+1+m=n+m+1,
∴＜x+m＞=＜x＞+m.综上所述,＜x+m＞=＜x＞+m.