《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版宿迁专版》

7. 如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边所成的锐角为 $ 50° $,那么这个直角三角形的较小内角的度数为25°.

答案： 25°

8. 如图,已知 $ \angle BAD = \angle BCD = 90° $,$ E $ 为 $ BD $ 的中点,$ BD = 4 $,$ \angle ADC = 45° $,则 $ S_{\triangle ACE} = $2.

答案： 2

9. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD $ 是边 $ BC $ 上的高,$ CE $ 是边 $ AB $ 上的中线,$ G $ 是 $ CE $ 的中点,$ AB = 2CD $,求证：$ DG \perp CE $.

答案： 证明:连接DE,
∵AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线，
∴AD⊥BD,E是边AB的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB.
∵AB=2CD,
∴CD=$\frac{1}{2}$AB,
∴CD=DE,
∵G是CE的中点,
∴DG⊥CE;

10. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ BD \perp AC $ 于点 $ D $,$ CE \perp AB $ 于点 $ E $,$ M $,$ N $ 分别是 $ BC $,$ DE $ 的中点.
(1) 求证：$ MN \perp DE $；
(2) 若 $ \angle ECB + \angle DBC = 45° $,$ DE = 10 $,求 $ MN $ 的长.

答案：

(1)证明:如答图，连接MD,ME.

∵BD⊥AC,CE⊥AB,M是BC的中点，
∴ME=$\frac{1}{2}$BC,MD=$\frac{1}{2}$BC,
∴ME=MD.又
∵N是DE的中点，
∴MN⊥DE.
(2)解:
∵M是Rt△BEC斜边BC的中点,
∴ME=$\frac{1}{2}$BC=MC,
∴∠MEC=∠MCE;同理∠MBD=∠MDB.
∵∠ECB+∠DBC=45°,
∴∠BME+∠DMC=2(∠ECB+∠DBC)=90°,
∴∠DME=90°,又
∵N是DE的中点,
∴MN=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$×10=5.