《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版宿迁专版》

7. (2025·张家港期末)如图,已知 $ AB = AC $,$ AE = AF $,$ AF \perp BF $,$ AE \perp EC $,则图中全等的三角形共有(A)

A.4 对
B.3 对
C.2 对
D.1 对

答案： A

8. 如图,$ D $ 为 $ Rt \triangle ABC $ 斜边 $ BC $ 的中点,过点 $ D $ 作 $ BC $ 的垂线,交 $ AC $ 于点 $ E $,且 $ AE = DE $,若 $ BC = 12 $,则 $ AB = $6.

答案： 6

9. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AC = 10 $,$ BC = 5 $,线段 $ PQ = AB $,点 $ P $,$ Q $ 分别在边 $ AC $ 和过点 $ A $ 且垂直于 $ AC $ 的射线 $ AO $ 上运动,当 $ AP = $5或10时,$ \triangle ABC $ 和 $ \triangle PQA $ 全等.

答案： 5或10

10. 如图,$ AD $ 与 $ BC $ 相交于点 $ O $,$ AD = BC $,$ \angle C = \angle D = 90^{\circ} $.
(1)求证：$ \triangle ABC \cong \triangle BAD $；
(2)若 $ \angle ABC = 35^{\circ} $,求 $ \angle CAO $ 的度数.

答案：
(1)证明:
∵∠C=∠D=90°,
∴△ABC和△BAD都是直角三角形.
在Rt△ABC和Rt△BAD中,{AB=BA,
BC=AD,
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
(2)解:
∵Rt△ABC≌Rt△BAD,
∴∠ABC=∠BAD=35°.
∵∠C=90°,
∴∠BAC=90°-35°=55°,
∴∠CAO=∠CAB-∠BAD=20°.

11. (2025·鼓楼区期末)如图,已知 $ DE \perp AC $ 于点 $ E $,$ BF \perp AC $ 于点 $ F $,$ AD = BC $,$ DE = BF $. 试探究 $ AB $ 与 $ CD $ 的数量关系与位置关系,并说明理由.

答案： 解:AB=CD且AB//CD.理由:
∵DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,
∴∠AED=∠BFC=∠DEC=∠BFA=90°.
在Rt△AED和Rt△CFB中,{AD=CB,
DE=BF,
∴Rt△AED≌Rt△CFB(HL).
∴AE=CF.
∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE.
又
∵∠DEC=∠BFA=90°,DE=BF,
∴△AFB≌△CED(SAS).
∴AB=CD,∠BAF=∠DCE.
∴AB//CD.
综上,AB=CD且AB//CD.

12. 如图,已知 $ AC $ 平分 $ \angle BAF $,$ CE \perp AB $ 于点 $ E $,$ CF \perp AF $ 于点 $ F $,且 $ BC = DC $.
(1)求证：$ BE = DF $；
(2)若 $ AB = 21 $,$ AD = 9 $,求 $ DF $ 的长.

答案：
(1)证明:
∵AC平分∠BAF,
∴∠CAE=∠CAF.
∵CE⊥AB,CF⊥AF,
∴∠CEA=∠CEB=∠F=90°.
又
∵AC=AC,
∴△ACE≌△ACF(AAS).
∴CE=CF.
又
∵BC=DC,
∴Rt△CDF≌Rt△CBE(HL).
∴BE=DF.
(2)解:由
(1)知△ACE≌△ACF,
∴AE=AF.
又由
(1)知BE=DF,
∴AD+DF=AB-DF.
∵AB=21,AD=9,
∴9+DF=21-DF.
∴DF=6.