《2025年同步测控优化设计八年级数学上册人教版福建专版》

因式分解的综合应用
对于一些复杂的因式分解问题,有时需要多次运用公式法,有时还需要综合运用______和______。

答案： 提公因式法 公式法

1. 分解因式 $ a^{3}-9a $ 的结果是( )

A.$ a(a + 3)(a - 3) $
B.$ a(a^{2}+9) $
C.$ (a - 3)(a + 3) $
D.$ a^{2}(a - 9) $

答案： A

2. 把代数式 $ 3x^{3}-12x^{2}+12x $ 因式分解,结果正确的是( )

A.$ 3x(x^{2}-4x + 4) $
B.$ 3x(x - 4)^{2} $
C.$ 3x(x + 2)(x - 2) $
D.$ 3x(x - 2)^{2} $

答案： D

3. 下列因式分解错误的是( )

A.$ 3ax^{2}-6ax = 3(ax^{2}-2ax) $
B.$ 2x^{2}-8y^{2}= 2(x + 2y)(x - 2y) $
C.$ x(x - y)+y(y - x)= (x - y)^{2} $
D.$ -ax^{2}+2ax - a= -a(x - 1)^{2} $

答案： A

4. 分解因式：$ 2a^{3}-8a = $______。

答案： $2a(a+2)(a-2)$

5. 分解因式：
(1)$ 9a^{2}(x - y)+4b^{2}(y - x) $；
(2)$ 64x^{2}y^{2}-(x^{2}+16y^{2})^{2} $；
(3)$ (x^{2}-x)(x^{2}-x - 8)+12 $。

答案： （1)原式$=9a^{2}(x-y)-4b^{2}(x-y)$
$=(x-y)(9a^{2}-4b^{2})$
$=(x-y)(3a+2b)(3a-2b).$
（2）原式$=(8xy+x^{2}+16y^{2})(8xy-x^{2}-16y^{2})=-(x+4y)^{2}(x-4y)^{2}.$
（3)原式$=(x^{2}-x)^{2}-8(x^{2}-x)+12$
$=(x^{2}-x-2)(x^{2}-x-6)$
$=(x-2)(x+1)(x-3)(x+2).$

6. 若 $ k $ 为任意整数,且 $ 99^{3}-99 $ 能被 $ k $ 整除,则 $ k $ 的值不可能是( )

A.50
B.100
C.98
D.97

答案： D

7. 已知 $ 2m - n = 3 $,那么 $ 4m^{2}-n^{2}-6n + 7 $的值为______。

答案： 16

8. 观察下列式子：
$ 2×4 + 1 = 9 = 3^{2} $；
$ 6×8 + 1 = 49 = 7^{2} $；
$ 14×16 + 1 = 225 = 15^{2} $；
……
你得出了什么结论？你能证明这个结论吗？

答案： 解 结论为$(2^{n+1}-2)\cdot 2^{n+1}+1=(2^{n+1}-1)^{2}$(n 为正整数).
证明如下：$(2^{n+1}-2)\cdot 2^{n+1}+1=(2^{n+1})^{2}-2×2^{n+1}+1=(2^{n+1}-1)^{2}.$