《2025年同步测控优化设计八年级数学上册人教版福建专版》

7. 对于任意实数$a$,$b$,规定一种新运算,记作$(a,b)$：如果$a^{c}= b$,那么$(a,b)= c$.
例如：因为$2^{3}= 8$,所以$(2,8)= 3$.
令$(2,4)= x$,$(2,16)= y$,$(2,64)= z$,
求证：$(2,4)+(2,16)= (2,64)$.

答案： 证明 $\because (2,4)=x,(2,16)=y,(2,64)=z$,
$\therefore 2^{x}=4,2^{y}=16,2^{z}=64$.
$\because 2^{x}× 2^{y}=2^{x+y}=2^{z}=64,\therefore x+y=z$,
$\therefore (2,4)+(2,16)=(2,64)$.

1. 幂的乘方
幂的乘方,底数______,指数______。用字母表示为$(a^{m})^{n}= $______($m$,$n$都是正整数)。

答案： 不变 相乘 $a^{mn}$

2. 积的乘方
积的乘方,等于把积的每一个因式分别______,再把所得的幂______。用字母表示为$(ab)^{n}= $______($n$是正整数)。

答案： 乘方 相乘 $a^{n}b^{n}$

1. 计算$(ab^{2})^{3}$的结果是( )

A.$3ab^{2}$
B.$ab^{6}$
C.$a^{3}b^{5}$
D.$a^{3}b^{6}$

答案： D

2. 如果一个正方体的棱长是$(1 - 2b)^{3}$,那么这个正方体的体积是( )

A.$(1 - 2b)^{6}$
B.$(1 - 2b)^{9}$
C.$(1 - 2b)^{12}$
D.$6(1 - 2b)^{6}$

答案： B

3. 已知$m^{2}= 2$,则$m^{6}= $______。

答案： 8

4. 计算：
(1)$a^{6}+(a^{3})^{2}$；
(2)$x^{2}\cdot[(x^{3})^{2}]^{4}$；
(3)$(-3a^{2}b^{3}c)^{3}$；
(4)$-(-2x^{3}y)^{4}$。

答案： 解
(1)原式$=a^{6}+a^{6}=2a^{6}$.
(2)原式$=x^{2}\cdot (x^{6})^{4}=x^{2}\cdot x^{24}=x^{26}$.
(3)原式$=(-3)^{3}\cdot (a^{2})^{3}\cdot (b^{3})^{3}\cdot c^{3}=-27a^{6}b^{9}c^{3}$.
(4)原式$=-(-2)^{4}\cdot (x^{3})^{4}\cdot y^{4}=-16x^{12}y^{4}$.

5. 求下列各式中$x$的值：
(1)$x^{3}= 2^{9}$；
(2)$4×2^{x}×16^{x}= 2^{12}$。

答案： 解
(1)$\because x^{3}=2^{9}=(2^{3})^{3}=8^{3}$,
$\therefore x=8$.
(2)$\because 4× 2^{x}× 16^{x}=2^{2}× 2^{x}× 2^{4x}=2^{5x+2}=2^{12}$,
$\therefore 5x+2=12$,解得$x=2$.