《2025年同步测控优化设计八年级数学上册人教版福建专版》

4. 如图,在平面直角坐标系中,点 $ A $ 坐标为 $ (4,2) $,点 $ B $ 坐标为 $ (1,-3) $,在 $ y $ 轴上有一点 $ P $ 使 $ PA + PB $ 的值最小,则点 $ P $ 的坐标为( )


A.$ (2,0) $
B.$ (-2,0) $
C.$ (0,2) $
D.$ (0,-2) $

答案： D

5. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC = 10 $,$ \triangle ABC $ 的面积是 $ 40 $,$ AD $ 平分 $ \angle BAC $。若 $ P $,$ Q $ 分别是 $ AD $ 和 $ AC $ 上的动点,则 $ PC + PQ $ 的最小值是______。

答案： 8

6. 已知 $ M $,$ N $ 两地间隔两条河流,第一条河流的河岸为直线 $ j $,$ k $,第二条河流的河岸为直线 $ l $,$ g $,所有的河岸皆平行。现要在两条河上分别修两座桥 $ AB $,$ CD $,两座桥修在何处,才能使从 $ M $ 到 $ N $ 的路径 $ M - A - B - C - D - N $ 最短？且河上的桥必须与河岸垂直。(要求：保留作图痕迹,不写画法)

答案：
解 如图，两座桥AB，CD即为所求.

7. 如图,在 $ \triangle ABC $ 区域内,小羊从路边 $ AB $ 某点出发跑到水沟边 $ AC $ 喝水,然后跑向路边 $ BC $ 吃草,再跑回到出发点处休息,为使所跑总路程最短,小羊应从 $ AB $ 边上的哪一点出发？又按怎样的路线奔跑？

答案：
解 如图①，在AB上取一点P.作点P关于AC 的对称点P'，关于BC的对称点P"，连接CP，CP'，CP"，P'P"，P'P"交AC于点K，交BC于点T.

由对称性可知，CP'=CP=CP"，∠P'CA=∠PCA，∠P"CB=∠PCB，PK=P'K，PT=P"T.
∴PK+KT+PT=P'K+KT+P"T.
∵P'，K，T，P"共线，
∴从点P出发，此时PK+KT+PT=P'P"最小.
∵∠P'CA=∠PCA，∠P"CB=∠PCB，
∴∠P'CA+∠P"CB=∠PCA+∠PCB=∠ACB，
∴∠P'CP"=2∠ACB，
∴△P'CP"是顶角固定的等腰三角形.当腰长最小时，底边P'P"最小，即当CP最小时，小羊奔跑的路线最短，如图②.

∴过点C作AB的垂线，垂足P即为小羊出发的点，此时沿路线P→K→T→P奔跑，所跑总路程最短.