《2025年同步测控优化设计八年级数学上册人教版福建专版》

4. 如图,六边形 ABCDEF 的六个角都是 $120^{\circ}$,AB = 1 cm,BC = 3 cm,CD = 3 cm,DE = 2 cm,则这个六边形的周长是____cm。

答案： 15

5. 如图,在△ECB 中,∠CEB = ∠B,延长 BE 至点 A,过点 A 作 AD//CE,∠A = $60^{\circ}$,连接 CD。求证：△ECB 是等边三角形。

答案： 证明
∵AD//CE,
∴∠A=∠CEB=60°.
∵∠CEB=∠B,
∴CE=CB,
∴△CEB是等腰三角形.
又∠CEB=60°,
∴△CEB是等边三角形.

6. 如图,△ABC 为等边三角形,M 是线段 BC 上的任意一点,N 是线段 CA 上的任意一点,且 BM = CN,BN 与 AM 交于点 Q。
(1)求证△BAN≌△ACM；
(2)求∠BQM 的大小。

答案：
(1)证明
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=CA,∠BAC=∠BCA=60°.
∵BM=CN,
∴CM=AN.
∵在△BAN和△ACM中,BA=AC,∠BAN=∠ACM,AN=CM,
∴△BAN≌△ACM(SAS).
(2)解
∵由
(1)知∠CAM=∠ABN,
∴∠BQM=∠ABN+∠BAQ=∠CAM+∠BAQ=∠BAC=60°.

7. 如图,在等边三角形 ABC 中,点 E 在边 AB 上,点 D 在 CB 的延长线上,且 ED = EC,试确定线段 AE 与 DB 的大小关系,并说明理由。

答案： 解 AE=DB,理由:
过点E作EF//BC交AC于点F.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=AC=BC.
∵EF//BC,
∴∠AEF=∠AFE=60°,∠FEC=∠ECD,
∴△AEF是等边三角形,
∴∠DBE=∠EFC=120°.
∵ED=EC,
∴∠EDC=∠ECD,
∴∠EDB=∠CEF.
∵在△EDB和△CEF中,∠EBD=∠CFE,∠EDB=∠CEF,ED=CE,
∴△EDB≌△CEF(AAS),
∴DB=EF.
∵△AEF是等边三角形,
∴EF=AE,
∴AE=DB.