《2025年同步测控优化设计八年级数学上册人教版福建专版》

3. 如图,小明和小芳以相同的速度分别同时从点$A$,$B$出发,小明沿$AC$行走,小芳沿$BD$行走,两人分别同时到达点$C$,$D$,且$CB\perp AB$,$DA\perp AB$。

(1)$CB与DA$相等吗？为什么？
(2)若$\angle DAC= 60^{\circ}$,求$\angle DBA$的度数。

答案：
(1)CB=DA,理由:
由题意可得AC=BD,
∵CB⊥AB,DA⊥AB,
∴∠ABC=∠BAD=90°.
在Rt△ABC和Rt△BAD中,$\left\{\begin{array}{l} AC=BD,\\ AB=BA,\end{array}\right. $
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),
∴CB=DA.
(2)由题意可得∠CAB=90°-60°=30°,
又Rt△ABC≌Rt△BAD,
∴∠DBA=∠BAC=30°.

4. 如图,$CD\perp AB$,$BE\perp AC$,垂足分别为$D$,$E$,$BE与CD相交于点O$。如果$AB= AC$,那么图中全等的直角三角形的对数是( )


A.1
B.2
C.3
D.4

答案： C

5. 如图,$AB= BC$,$\angle BAD= \angle BCD= 90^{\circ}$,$D是EF$上一点,$AE\perp EF于点E$,$CF\perp EF于点F$,$AE= CF$。求证$Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle CDF$。

答案： 证明 连接BD,
∵∠BAD=∠BCD=90°,
在Rt△ABD和Rt△CBD中,$\left\{\begin{array}{l} AB=CB,\\ BD=BD,\end{array}\right. $
∴Rt△ABD≌Rt△CBD(HL),
∴AD=CD.
∵AE⊥EF,CF⊥EF,
∴∠E=∠F=90°.
在Rt△ADE和Rt△CDF中,$\left\{\begin{array}{l} AE=CF,\\ AD=CD,\end{array}\right. $
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).

6. 如图,在四边形$ABCD$中,$\angle ABC= \angle ADC= 90^{\circ}$,$BE\perp AC于点E$,$DF\perp AC于点F$,$CF= AE$,$BC= DA$。求证$BE= DF$。

答案： 证明 在Rt△ADC和Rt△CBA中,$\left\{\begin{array}{l} DA=BC,\\ AC=CA,\end{array}\right. $
∴Rt△ADC≌Rt△CBA(HL),
∴DC=BA.
∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴∠AEB=∠CFD=90°.
在Rt△ABE和Rt△CDF中,$\left\{\begin{array}{l} AE=CF,\\ AB=CD,\end{array}\right. $
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL),
∴BE=DF.