《2025年同步测控优化设计八年级数学上册人教版福建专版》

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$BE$,$CF分别是AC$,$AB$两边上的高,在$BE上截取BD= AC$,在$CF的延长线上截取CG= AB$,连接$AD$,$AG$.
(1) 求证$∠CGA= ∠BAD$；

(2) 连接$GD$,判断$\triangle AGD$的形状,并说明理由.

答案：
(1)证明 由题意知,∠CEH=∠BFH=90°,
∵∠CHE=∠BHF,
∴∠ECH=∠FBH,即∠ACG=∠ABD.在△ACG和△DBA中,$\left\{\begin{array}{l} AC=DB,\\ ∠ACG=∠DBA,\\ CG=BA,\end{array}\right. $
∴△ACG≌△DBA(SAS),
∴∠CGA=∠BAD.
(2)解 △AGD是等腰直角三角形.理由:由
(1)得,△ACG≌△DBA,
∴AG=AD,∠AGC=∠DAB.
∵CF是△ABC的高,
∴∠AFG=90°,
∴∠AGC+∠GAF=90°,
∴∠DAB+∠GAF=90°,即∠GAD=90°,
∴△AGD是等腰直角三角形.

1. 用“ASA”判定两个三角形全等
两角和它们的____分别相等的两个三角形全等(可以简写成“____”或“____”).

答案： 夹边 角边角 ASA

2. 用“AAS”判定两个三角形全等
两角分别相等且其中一组等角的____相等的两个三角形全等(可以简写成“____”或“____”).

答案： 对边 角角边 AAS

1. 如图,∠A= ∠D,若用“ASA”来证明△ABC≌△DEF,需要补充的条件是( )

A.∠B= ∠E 和 AC= DF
B.∠B= ∠E 和 BC= EF
C.∠C= ∠F 和 AC= DF
D.∠C= ∠F 和 AB= DE

答案： C

2. 如图,AC 与 BD 相交于点 O,∠A= ∠D,OB= OC,不添加辅助线,判定△ABO≌△DCO 的依据是____(填写“SAS”“ASA”或“AAS”).

答案： AAS

3. 如图,AB⊥BD 于点 B,ED⊥BD 于点 D,AE 交 BD 于点 C,且 BC= DC. 求证 AB= ED.

答案： 证明
∵AB⊥BD,ED⊥BD,
∴∠ABC=∠D=90°.在△ABC和△EDC中,∠ABC=∠EDC,BC=DC,∠ACB=∠ECD,
∴△ABC≌△EDC(ASA),
∴AB=ED.