《2025年同步测控优化设计八年级数学上册人教版福建专版》

1. 如图,小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片,则他支起的这个点应是三角形的( )


A.三边高的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三边中线的交点

答案： D

2. 如图,点 $ O $ 是 $ \triangle ABC $ 的重心,连接 $ AO $,并延长交 $ BC $ 于点 $ D $,连接 $ BO $,并延长交 $ AC $ 于点 $ E $. 若 $ BC = 6 $,$ AC = 4 $,则 $ BD + AE = $______.

答案： 5

3. 画出正六边形 $ ABCDEF $ 的重心.

答案：
解 如图,点O就是所求作的点.

4. 在平面直角坐标系中,有一个由两个均匀薄板组成的组合体,其中一个是边长为 $ 2 $ 的正方形薄板,其一个顶点位于坐标原点 $ O_{1}(0,0) $,且两条边分别与 $ x $ 轴、$ y $ 轴重合；另一个是半径为 $ 1 $ 的圆形薄板,圆心坐标为 $ O_{2}(3,2) $. 求该平面组合体的重心坐标.

答案： 解 设该平面组合体的重心坐标为G(x,y),正方形薄板和圆形薄板的重心坐标分别为G₁(x₁,y₁),G₂(x₂,y₂),面积分别为S₁,S₂,由题意,得x₁=1,y₁=1,x₂=3,y₂=2,S₁=2×2=4,S₂=π×1²=π,则x=$\frac{S₁}{S₁+S₂}x₁+\frac{S₂}{S₁+S₂}x₂=\frac{4}{4+π}×1+\frac{π}{4+π}×3=\frac{4+3π}{4+π}$,y=$\frac{S₁}{S₁+S₂}y₁+\frac{S₂}{S₁+S₂}y₂=\frac{4}{4+π}×1+\frac{π}{4+π}×2=\frac{4+2π}{4+π}$,故该平面组合体的重心坐标为G($\frac{4+3π}{4+π}$,$\frac{4+2π}{4+π}$).

5. 已知在平面直角坐标系上,有一个 $ L $ 形组合体是由长方形①和长方形②组成,长方形①的四个顶点坐标分别为 $ (0,0) $,$ (4,0) $,$ (4,2) $,$ (0,2) $；长方形②的四个顶点坐标分别为 $ (4,2) $,$ (7,2) $,$ (7,4) $,$ (4,4) $. 求该 $ L $ 形组合体的重心坐标.

答案： 解 设该L形组合体的重心坐标为G(x,y),长方形①和长方形②的重心坐标分别为G₁(x₁,y₁),G₂(x₂,y₂),面积分别为S₁,S₂,由题意,得x₁=2,y₁=1,x₂=5.5,y₂=3,S₁=4×2=8,S₂=3×2=6,则x=$\frac{S₁}{S₁+S₂}x₁+\frac{S₂}{S₁+S₂}x₂=\frac{8}{8+6}×2+\frac{6}{8+6}×5.5=\frac{7}{2}$,y=$\frac{S₁}{S₁+S₂}y₁+\frac{S₂}{S₁+S₂}y₂=\frac{8}{8+6}×1+\frac{6}{8+6}×3=\frac{13}{7}$,故该L形组合体的重心坐标为G($\frac{7}{2}$,$\frac{13}{7}$).