《2025年人教金学典同步解析与测评七年级数学上册人教版重庆专版》

1. 下列方程中,解为 $ x = 1 $ 的是 (C)
A.$ 2x = x + 3 $
B.$ 1 - 2x = 1 $
C.$ \frac{x + 1}{2} = 1 $
D.$ \frac{x + 1}{3} - \frac{x - 1}{2} = 2 $

答案： C

2. 若关于 $ x $ 的一元一次方程 $ \frac{2x - k}{3} - \frac{x - 3k}{2} = 1 $ 的解是 $ x = -1 $,则 $ k $ 的值是(B)
A.$ \frac{2}{7} $
B.$ 1 $
C.$ -\frac{13}{11} $
D.$ 0 $

答案： B

3. 当 $ m = $9时,$ \frac{2m - 3}{5} $ 和 $ \frac{2}{3}m - 3 $ 的值相等。

答案： 9

4. 一艘轮船从一码头顺流而下,再逆流而上,计划 $ 8 $ h 回到原来出发的码头。若这艘轮船在静水中的速度是 $ 10 $ km/h,水流速度是 $ 2 $ km/h,则这艘轮船最多顺水走38.4km,就必须返回。

答案： $38.4$

5. 小强的练习册上有一道方程题,其中一个数被墨汁涂染,变成了 $ \frac{1}{3}(-\frac{x - 1}{2} + x) = 3 - \frac{x - \Delta}{3} $,他翻了书后的答案,知道这个方程的解为 $ x = 5 $。请你帮他把被墨汁涂染的数求出来。($ \Delta $ 表示被墨汁涂染的位置)

答案： 设被墨汁涂染的数为$a$，则原方程为$\frac{1}{3}\left(-\frac{x - 1}{2} + x\right) = 3 - \frac{x - a}{3}$。
因为方程的解为$x = 5$，将$x = 5$代入方程得：
$\frac{1}{3}\left(-\frac{5 - 1}{2} + 5\right) = 3 - \frac{5 - a}{3}$
计算左边：$-\frac{5 - 1}{2} = -\frac{4}{2} = -2$，$-2 + 5 = 3$，$\frac{1}{3}×3 = 1$
所以方程化为：$1 = 3 - \frac{5 - a}{3}$
移项得：$\frac{5 - a}{3} = 3 - 1$
即：$\frac{5 - a}{3} = 2$
两边同乘$3$：$5 - a = 6$
解得：$a = 5 - 6 = -1$
答：被墨汁涂染的数为$-1$。

6. (传统文化)程大位的名著《算法统宗》里有一道题目：一百馒头一百僧,大和三个更无争,小和三人分一个,大小和尚得几丁。意思是：有 $ 100 $ 个和尚分 $ 100 $ 个馒头,如果大和尚每人分 $ 3 $ 个馒头,小和尚 $ 3 $ 人分 $ 1 $ 个馒头,正好分完,问大和尚与小和尚各多少人。设大和尚有 $ x $ 人,依题意列方程得(C)
A.$ \frac{x}{3} + 3(100 - x) = 100 $
B.$ \frac{x}{3} - 3(100 - x) = 100 $
C.$ 3x + \frac{100 - x}{3} = 100 $
D.$ 3x - \frac{100 - x}{3} = 100 $

答案： C

7. 现有一列火车从长 $ 1200 $ m 的桥上匀速通过,测得这列火车从上桥到完全过桥共用 $ 50 $ s,而整列火车完全在桥上的时间是 $ 30 $ s,求这列火车的车长和速度。

答案： 设火车的车长为 $x$ m，速度为 $v$ m/s。
当火车完全过桥时，其行驶的路程为桥长加上车长，即 $1200 + x$ m，所用时间为 $50$ s，因此，可以得到方程：
$v = \frac{1200 + x}{50}$，
当火车完全在桥上时，其行驶的路程为桥长减去车长，即 $1200 - x$ m，所用时间为 $30$ s，因此，可以得到第二个方程：
$v = \frac{1200 - x}{30}$，
由于火车是匀速行驶的，所以两个方程中的速度 $v$ 应该是相等的，将两个方程联立起来：
$\frac{1200 + x}{50} = \frac{1200 - x}{30}$，
解这个方程，得到：
$30(1200 + x) = 50(1200 - x)$，
$36000 + 30x = 60000 - 50x$，
$80x = 24000$，
$x = 300$。
将 $x = 300$ 代入任意一个速度公式中，求出速度 $v$：
$v = \frac{1200 + 300}{50} = 30 (m/s)$。
答：这列火车的车长为$300$m，速度为$30$ m/s。

8. 某同学在解关于 $ x $ 的一元一次方程 $ \frac{2x - 1}{3} = \frac{x + a}{3} - 1 $ 时,去分母过程中,方程右边的 $ -1 $ 漏乘了 $ 3 $,求得方程的解为 $ x = -2 $,请你求出 $ a $ 的值,并帮助该同学求出原方程正确的解。

答案： 1. 该同学去分母时，方程右边的$-1$漏乘$3$，则错误去分母后方程为：$2x - 1 = (x + a) - 1$。
2. 将$x = -2$代入错误方程：$2×(-2)-1=(-2 + a)-1$，即$-5 = a - 3$，解得$a=-2$。
3. 原方程为$\frac{2x - 1}{3}=\frac{x - 2}{3}-1$，去分母得$2x - 1 = x - 2 - 3$，化简得$2x - 1 = x - 5$，移项得$2x - x=-5 + 1$，解得$x=-4$。
$a=-2$，原方程正确解为$x=-4$。