《2025年人教金学典同步解析与测评七年级数学上册人教版重庆专版》

20. 当$ a = 3,b = 2 $时,求代数式$ (a + b)(a^{2}-ab + b^{2}) 与 a^{3}+b^{3} $的值,并根据计算结果写出你发现的结论.

答案： 当$a = 3$，$b = 2$时：
1. 计算$(a + b)(a^{2}-ab + b^{2})$：
$\begin{aligned}&(3 + 2)(3^{2}-3×2 + 2^{2})\\=&5×(9 - 6 + 4)\\=&5×7\\=&35\end{aligned}$
2. 计算$a^{3}+b^{3}$：
$\begin{aligned}&3^{3}+2^{3}\\=&27 + 8\\=&35\end{aligned}$
结论：$(a + b)(a^{2}-ab + b^{2})=a^{3}+b^{3}$

21. 如图,将边长为$ m $的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个长方形,拿掉边长为$ n $的小正方形纸板后,将剩下的三块拼成新的长方形.
(1)用含$ m 或 n $的代数式表示拼成的长方形的周长;
(2)若$ m = 7,n = 4 $,求拼成的长方形的面积.

答案：
(1)
由题意可知，剩下的三块中两个小长方形的长为$m - n$，宽为$n$，另一个大正方形边长为$m - n$（或理解为拼成的长方形的长为$m + n$，宽为$m - n$）。
拼成的长方形长为$m + n$，宽为$m - n$，根据长方形周长公式$C = 2×(长 + 宽)$，可得周长$C = 2×(m + n + m - n)=4m$。
(2)
由
(1)可知拼成的长方形长为$m + n$，宽为$m - n$，根据长方形面积公式$S = 长×宽$，可得面积$S=(m + n)(m - n)$。
当$m = 7$，$n = 4$时，$S=(7 + 4)×(7 - 4)=11×3 = 33$。
综上，
(1)拼成的长方形的周长为$4m$；
(2)拼成的长方形的面积为$33$。

22. 某车队要把4000t货物运到某地(运输方案确定后,平均每天的运输量不变).
(1)从运输开始,平均每天运输货物的质量$ n $(单位:t)与运输时间$ t $(单位:天)之间有怎样的关系式?
(2)平均每天运输货物的质量$ n $(单位:t)与运输时间$ t $(单位:天)成怎样的比例关系?
(3)若平均每天运输货物的质量为1000t,求运输完这批货物需要的天数.

答案：
(1) 由题意得，运输货物总量 = 平均每天运输量 × 运输时间，即 $ nt = 4000 $，所以 $ n = \frac{4000}{t} $（$ t ＞ 0 $）。
(2) 因为 $ n = \frac{4000}{t} $，符合反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $（$ k $ 为常数，$ k \neq 0 $）的形式，所以平均每天运输货物的质量 $ n $ 与运输时间 $ t $ 成反比例关系。
(3) 当 $ n = 1000 $ 时，代入 $ n = \frac{4000}{t} $，得 $ 1000 = \frac{4000}{t} $，解得 $ t = 4 $。
答：
(1) $ n = \frac{4000}{t} $；
(2) 反比例关系；
(3) 4 天。

23. 有长为$ l $的篱笆,利用它和房屋的一面墙围成长方形园子,如图,园子的宽为$ t $.
(1)用含$ l,t $的代数式表示园子的面积.
(2)当$ l = 100m,t = 30m $时,求园子的面积.

答案：
(1)
已知篱笆长为$l$，园子宽为$t$，因为长方形园子一边靠墙，那么园子的长为$l - 2t$。
根据长方形面积公式$S =$长$×$宽，可得园子面积$S=t(l - 2t)$。
(2)
当$l = 100m$，$t = 30m$时，把$l = 100$，$t = 30$代入$S=t(l - 2t)$中，
$S=30×(100 - 2×30)$
$=30×(100 - 60)$
$=30×40$
$ = 1200(m^{2})$
答：
(1)园子面积$S=t(l - 2t)$；
(2)园子面积为$1200m^{2}$。

24. 如图,按下列程序进行计算.

若$ m = 5 $,求运算进行多少次才会停止.

答案： 1. 初始值$m = 5$。
第一次计算：$3m - 2=3×5 - 2=15 - 2 = 13$，$13\lt244$，继续计算。
2. 第二次计算：用上一次的结果$13$代入$m$，$3m - 2 = 3×13-2=39 - 2 = 37$，$37\lt244$，继续计算。
3. 第三次计算：用$37$代入$m$，$3m - 2=3×37 - 2=111 - 2 = 109$，$109\lt244$，继续计算。
4. 第四次计算：用$109$代入$m$，$3m - 2=3×109 - 2=327 - 2 = 325$，$325\gt244$，停止计算。
运算进行$4$次才会停止。