《2025年人教金学典同步解析与测评七年级数学上册人教版重庆专版》

26. 【概念学习】规定：求若干个相同的有理数(均不等于 0)的除法的运算叫除方,如$3÷3÷3$,$(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)$等. 类比有理数的乘方,我们把$3÷3÷3记作3^{③}$,读作“3 的圈 3 次方”,$(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)记作(-2)^{④}$,读作“负 2 的圈 4 次方”. 一般地,把$\underbrace{a÷a÷a÷…÷a}_{n个a}(a ≠ 0)记作a^{ⓝ}$,读作“$a的圈n$次方”,如$2^{④}= 2÷2÷2÷2 = 2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^{2}$.
【初步探究】
(1)直接写出计算结果：$4^{③} = $$\frac{1}{4}$,$(-\frac{1}{2})^{④} = $$4$.
【深入思考】我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？(此处不用作答)
(2)试一试：仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成幂的形式.
$(-3)^{④} = $$(-\frac{1}{3})^{2}$；$5^{⑥} = $$(\frac{1}{5})^{4}$；$(\frac{1}{2})^{⑤} = $$2^{3}$.
(3)想一想：将一个非零有理数$a的圈n$次方写成幂的形式是$(\frac{1}{a})^{n-2}$.
(4)比较：$(-9)^{⑤}$$＞$$(-3)^{⑦}$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”).
【灵活应用】
(5)算一算：$12^{2}÷(-\frac{1}{3})^{④}×(-\frac{1}{2})^{⑤} - (-\frac{1}{3})^{⑥} + 3^{3}$.
$12^{2}÷(-\frac{1}{3})^{④}×(-\frac{1}{2})^{⑤}-(-\frac{1}{3})^{⑥}+3^{3}$
$=144÷[(-3)^{2}]×[(-2)^{3}]-[(-3)^{4}]+27$
$=144÷9×(-8)-81+27$
$=16×(-8)-81+27$
$=-128-81+27$
$=-182$

答案：
(1)$\frac{1}{4}$；$4$
(2)$(-\frac{1}{3})^{2}$；$(\frac{1}{5})^{4}$；$2^{3}$
(3)$(\frac{1}{a})^{n-2}$
(4)$＞$
(5)$12^{2}÷(-\frac{1}{3})^{④}×(-\frac{1}{2})^{⑤}-(-\frac{1}{3})^{⑥}+3^{3}$
$=144÷[(-3)^{2}]×[(-2)^{3}]-[(-3)^{4}]+27$
$=144÷9×(-8)-81+27$
$=16×(-8)-81+27$
$=-128-81+27$
$=-182$