《2025年学习之友七年级数学上册人教版》

1. 已知方程$2x - 3y + 1 = 0$,且含$x的式子表示y = $(2x+1)/3。

答案： (2x+1)/3

2. 已知$5a + 2b = 3b + 10$,利用等式性质可求得$10a - 2b$的值是20。

答案： 20

3. 能否由等式$(3a + 4)x = 2a - b得到x = \frac{2a - b}{3a + 4}$？为什么？反过来,能否由等式$x = \frac{2a - b}{3a + 4}得到(3a + 4)x = 2a - b$？为什么？

答案： 答$: $当$3a+4=0$时，不能得到$x=\frac{2a-b}{3a+4}，$　　

当$3a+4\neq 0$时，能得到$x=\frac{2a-b}{3a+4}，$故从等式$(3a+4)x=2a-b$中不一定能得到$x=\frac{2a-b}{3a+4}；$由等式的性质$2$两边同时乘以$3a+4$可知：$(3a+4)x=2a-b，$故从等式$x=\frac{2a-b}{3a+4}$能得到$(3a+4)x=2a-b.$　　

4. 阅读材料：求$1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 4^{2} + … + 2^{2019}$的值。
解：设$S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 4^{2} + … + 2^{2019}$
将等式两边同时乘以 2,得$2S = 2 + 2^{2} + 2^{3} + 4^{2} + 2^{5} + … + 2^{2019} + 2^{2020}$
将下式减去上式,得$S = 2^{2020} - 1$
即$1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 4^{2} + … + 2^{2019} = 2^{2020} - 1$
请你仿照此法计算：
(1)$1 + 5 + 5^{2} + 5^{3} + … + 5^{10}$
(2)$\frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + … + \frac{1}{3^{19}}$

答案： 解：$(1) $根据材料，设$ M=1+5+5^{2}+5^{3}+\cdots +5^{10}，$①
$ \therefore $将等式两边同时乘以$ 5，$则$ 5M=5+5^{2}+5^{3}+\cdots +5^{10}+5^{11} ，$②　　
由②-①$ ，$得：$4M=5^{11}-1，$　　
$\therefore M=\frac{5^{11}-1}{4}，$　　
$ \therefore 1+5+5^{2}+5^{3}+\cdots +5^{10}=\frac{5^{11}-1}{4}.$　　
$ (2) $根据材料，设$ N=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+\cdots +\frac{1}{3^{10}}$　　
$\frac{1}{3^{10}} ，$③　　
$\therefore $将等式两边同时乘以$ 3，$　　
$ 3N=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+\cdots +\frac{1}{3^{10}} ，$④　　
由④-③，得：$2N=1-\frac{1}{3^{10}}，$　　
$ \therefore N=\frac{3^{10}-1}{2×3^{10}}.$　　
$ \therefore\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+\cdots +\frac{1}{3^{19}}=\frac{3^{19}-1}{2\times 3^{19}}.$