《2025年学习之友七年级数学上册人教版》

4. 关于只含有$x$的二次三项式,二次项的系数是$-\frac{2}{5}$,一次项的系数和常数项都是$-1$,则这个二次三项式是$-\frac{2}{5}x^{2}-x-1$.

答案： $-\frac{2}{5}x^{2}-x-1$

5. 如图,是一个数值转换机的示意图,当输入的$x$值为 7,$y的值为-2$时,输出的结果为9.

答案： 9

6. 我国古代的钱币如下图,其中正方形的边长为$x$,圆的半径为$r$.

(1)用整式表示钱币阴影部分的面积；
(2)当$x = 2$,$r = 6$时,请计算阴影部分的面积($\pi$取 3.14).

答案： 解:
(1)$S_{阴影}=πr^{2}-x^{2}$
(2)当$x=2,r=6$时$S_{阴影}=πr^{2}-x^{2}=3.14×36-4=109.04$

7. 如图是一个长为$a$,宽为$b$的长方形,两个阴影图都是底边长为 1,且底边在长方形边上的平行四边形.

(1)用含字母$a$,$b$的式子表示长方形中空白部分的面积；
(2)当$a = 3$,$b = 2$时,求长方形中空白部分的面积.

答案： （1）首先，长方形的面积$S = ab$。
然后，计算两个平行四边形的面积：
一个平行四边形的底为$1$，高为$b$，其面积$S_1 = 1× b=b$；另一个平行四边形的底为$1$，高为$a$，其面积$S_2 = 1× a=a$。
但是两个平行四边形重叠部分是一个底为$1$，高为$1$的平行四边形，其面积$S_0 = 1×1 = 1$（这部分面积被重复计算了一次）。
最后，空白部分面积$S_{空白}=ab-a + b+1$。
（2）
当$a = 3$，$b = 2$时：
把$a = 3$，$b = 2$代入$S_{空白}=ab-(a + b)+1$中。
根据代入求值公式$S_{空白}=3×2-(3 + 2)+1$。
先算乘法：$3×2=6$；再算括号里的：$3 + 2 = 5$。
则$S_{空白}=6-5 + 1$。
按照从左到右的顺序计算：$6-5+1=(6 - 5)+1=1 + 1=2$。
综上，（1）空白部分面积为$ab-a + b+1$；（2）空白部分面积为$2$。

先阅读下列材料,然后解答问题.
材料一：将多项式按某个字母(如$x$)的指数从大到小(或从小到大)依次排列,叫作这个多项式按这个字母(如$x$)的降幂(或升幂)排列. 如：把多项式$3x^{2}y - 4xy^{2} + x^{3} - 5y^{3}按字x的降幂排列为x^{3} + 3x^{2}y - 4xy^{2} - 5y^{3}$.
材料二：多项式$-\frac{1}{2}x^{3} + x + 8中含有x^{3}$项,$x$项,常数项,按$x的降幂排列缺x^{2}$项,我们可以补入$0 \cdot x^{2}作为x$的二次项,使原式成为式$-\frac{1}{2}x^{3} + 0 \cdot x^{2} + x + 8$的形式,这样的做法叫作补入多项式的缺项.
解答下列问题：
(1)把多项式$3x^{2}y - 4xy^{2} + x^{3} - 5y^{3}按字母y$的升幂排列；
(2)请补入多项式$-x + x^{4} + 1$的缺项,并按$x$的降幂排列.

答案： 解:
(1)$x^{3}+3x^{2}y-4xy^{2}-5y^{3}$
(2)$x^{4}+0\cdot x^{3}+0\cdot x^{2}-x+1$