《2025年作业本浙江教育出版社八年级数学上册浙教版》

8. 已知：如图,$BE \perp CD$ 于点 $E$,点 $A$ 在 $BE$ 上,连结 $DA$ 并延长,交 $BC$ 于点 $F$。$BE = DE$,$BC = DA$。判断 $DF$ 与 $BC$ 的位置关系,并说明理由。

答案： DF⊥BC。理由如下:因为BE⊥DE,所以∠BEC=∠DEA=Rt∠。又因为BC =DA,BE=DE,所以Rt△BCE≌Rt△DAE,所以∠B=∠D。因为∠B+∠C=90°,所以∠D+∠C=90°,即DF⊥BC。

9. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AD$ 是 $\angle CAB$ 的平分线,$DE \perp AB$ 于 $E$,点 $F$ 在边 $AC$ 上,连结 $DF$,$DF = DB$。
(1)试说明 $\angle B$ 与 $\angle AFD$ 的数量关系。
(2)若 $AB = 8$,$AF = 5$,求 $BE$ 的长。

答案：
(1)由已知,∠C=∠DEB=Rt∠。因为AD是∠CAB的角平分线,所以DC=DE。又因为DF=DB,所以Rt△CDF≌Rt△EDB,所以∠B=∠CFD。因为∠AFD+∠CFD=180°,所以∠AFD+∠B=180°。　
(2)由DC=DE,AD=AD,∠ACD=∠AED=90°,得△ACD≌△AED,所以AC=AE。因为△DCF≌△DEB,所以CF=BE。所以AB=AE+BE=AC+BE=AF+CF+BE=AF+2BE,即8=5+2BE,解得BE= $\frac{3}{2}$。