《2025年作业本浙江教育出版社八年级数学上册浙教版》

9. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长,那么我们称这个三角形为“美丽三角形”。
(1) 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC = 2\sqrt{5}$,$BC = 4$。求证：$\triangle ABC$是“美丽三角形”。
(2) 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 4\sqrt{3}$。若$\triangle ABC$是“美丽三角形”,求$BC$的长。

答案：
（1）如图①，过点A作$AD\perp BC$于D。
因为$AB=AC$，$AD\perp BC$，所以$BD=\frac{1}{2}BC=2$。

由勾股定理，得$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=4$，
所以$AD=BC$，即$\triangle ABC$是“美丽三角形”。
（2）当AC边上的中线BD等于AC时，如图②，$BC=\sqrt{BD^{2}-CD^{2}}=6$；
当BC边上的中线AE等于BC时，$AC^{2}=AE^{2}-CE^{2}$，

即$BC^{2}-\left(\frac{1}{2}BC\right)^{2}=(4\sqrt{3})^{2}$，解得$BC=8$。
综上所述，BC的长是6或8。