《2025年能力培养与测试八年级数学上册人教版》

14. 如图，有一个池塘，要测池塘两端 $ A $， $ B $ 间的距离，可先在平地上取一个点 $ C $，从点 $ C $ 不经过池塘可以直接到达点 $ A $ 和 $ B $，连接 $ AC $ 并延长到点 $ D $，使 $ CD = CA $，连接 $ BC $ 并延长到点 $ E $，使 $ CE = CB $，连接 $ DE $，那么量出 $ DE $ 的长就是 $ A $， $ B $ 间的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明.
证明：在 $ \triangle DEC $ 和 $ \triangle ABC $ 中，
$\begin{cases}CD = (\quad), \\(\quad), \\EC = (\quad),\end{cases}$
$ \therefore \triangle DEC \cong \triangle ABC $(SAS).
$ \therefore $DE=AB.

答案： CA ∠DCE=∠ACB BC
DE=AB

15. 图①是一个平分角的仪器，其中 $ OD = OE $， $ FD = FE $.
（1）如图②，将仪器放置在 $ \triangle ABC $ 上，使点 $ O $ 与顶点 $ A $ 重合，点 $ D $， $ E $ 分别在边 $ AB $， $ AC $ 上，沿 $ AF $ 画一条射线 $ AP $，交 $ BC $ 于点 $ P $. $ AP $ 是 $ \angle BAC $ 的平分线吗？请判断并说明理由.
（2）如图③，在（1）的条件下，过点 $ P $ 作 $ PQ \perp AB $，垂足为 $ Q $. 若 $ PQ = 5 $， $ AC = 8 $， $ \triangle ABC $ 的面积是 $ 45 $，求 $ AB $ 的长和 $ BP : PC $ 的值.

答案：
（1）AP 是∠BAC的平分线. 理由如下：
在△ADF和△AEF中，
$\begin{cases} AD = AE, \\ FD = FE, \\ AF = AF, \end{cases}$
∴△ADF≌△AEF (SSS).
∴∠DAF=∠EAF.
∴AP 平分∠BAC.
（2）如图，过点 P 作 PG⊥AC，垂足为 G.

∵AP 平分∠BAC，PQ⊥AB，PG⊥AC，
∴PG=PQ=5.
∴$S_△APC=\frac{1}{2}AC·PG=\frac{1}{2}×8×5=20.$
∴$S_△ABC=S_△ABP+S_△APC=\frac{1}{2}AB·PQ+20$
$=\frac{1}{2}AB·5+20=45.$
∴AB=10.
∴$S_△ABP=\frac{1}{2}AB·PQ=\frac{1}{2}×10×5=25.$
设△ABC的BC边上的高为h，
则$\frac{S_△ABP}{S_△APC}=\frac{\frac{1}{2}BP·h}{\frac{1}{2}PC·h}=\frac{25}{20}，$即$\frac{BP}{PC}=\frac{5}{4}.$