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15. 计算：（1）$(1+\frac{1}{x})÷\frac{x^{2}+x}{x}$；（2）$\frac{a}{a - 1}÷\frac{a + 1}{a^{2}-1}-(2a - 1)$.
答案：
解：
(1)$(1+\frac{1}{x})÷\frac{x^{2}+x}{x}$
$=\frac{x+1}{x}\cdot\frac{x}{x^{2}+x}$
$=\frac{x+1}{x}\cdot\frac{x}{x(x+1)}$
$=\frac{1}{x}$.
(2)$\frac{a}{a-1}÷\frac{a+1}{a^{2}-1}-(2a-1)$
$=\frac{a}{a-1}\cdot\frac{(a+1)(a-1)}{a+1}-(2a-1)$
$=a-2a+1$
$=-a+1$.
(1)$(1+\frac{1}{x})÷\frac{x^{2}+x}{x}$
$=\frac{x+1}{x}\cdot\frac{x}{x^{2}+x}$
$=\frac{x+1}{x}\cdot\frac{x}{x(x+1)}$
$=\frac{1}{x}$.
(2)$\frac{a}{a-1}÷\frac{a+1}{a^{2}-1}-(2a-1)$
$=\frac{a}{a-1}\cdot\frac{(a+1)(a-1)}{a+1}-(2a-1)$
$=a-2a+1$
$=-a+1$.
16. 解方程$1-\frac{x}{x + 1}=\frac{2x}{1 - x^{2}}$.
答案：
解：方程两边乘$(x^{2}-1)$，得
$x^{2}-1-x(x-1)=-2x$.
解得$x=\frac{1}{3}$.
检验：当$x=\frac{1}{3}$时，$x^{2}-1\neq0$.
所以，原分式方程的解为$x=\frac{1}{3}$.
$x^{2}-1-x(x-1)=-2x$.
解得$x=\frac{1}{3}$.
检验：当$x=\frac{1}{3}$时，$x^{2}-1\neq0$.
所以，原分式方程的解为$x=\frac{1}{3}$.
17. 先化简：$2-\frac{x - 1}{x}÷(\frac{x}{x + 2}-\frac{1}{x^{2}+2x})$，然后在$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$中选择一个合适的数代入$x$求值.
答案：
解：$2-\frac{x - 1}{x}÷(\frac{x}{x + 2}-\frac{1}{x^{2}+2x}$
$=2-\frac{x-1}{x}÷[\frac{x}{x+2}-\frac{1}{x(x+2)}]$
$=2-\frac{x-1}{x}÷\frac{x^{2}-1}{x(x+2)}$
$=2-\frac{x-1}{x}\cdot\frac{x(x+2)}{x^{2}-1}$
$=2-\frac{x-1}{x}\cdot\frac{x(x+2)}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{x+2}{x+1}$.
要使式子有意义，$x$应满足$\begin{cases}x^{2}+2x\neq0,\\x^{2}-1\neq0,\\x\neq0,\end{cases}$
解得$x\neq0$且$x\neq-2$且$x\neq\pm1$.
故$x=2$.
当$x=2$时，原式$=\frac{2}{3}$.
$=2-\frac{x-1}{x}÷[\frac{x}{x+2}-\frac{1}{x(x+2)}]$
$=2-\frac{x-1}{x}÷\frac{x^{2}-1}{x(x+2)}$
$=2-\frac{x-1}{x}\cdot\frac{x(x+2)}{x^{2}-1}$
$=2-\frac{x-1}{x}\cdot\frac{x(x+2)}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{x+2}{x+1}$.
要使式子有意义，$x$应满足$\begin{cases}x^{2}+2x\neq0,\\x^{2}-1\neq0,\\x\neq0,\end{cases}$
解得$x\neq0$且$x\neq-2$且$x\neq\pm1$.
故$x=2$.
当$x=2$时，原式$=\frac{2}{3}$.
18. 解方程：
①$\frac{1}{x + 1}=\frac{2}{x + 1}-1$的解为$x=$
②$\frac{2}{x + 1}=\frac{4}{x + 1}-1$的解为$x=$
③$\frac{3}{x + 1}=\frac{6}{x + 1}-1$的解为$x=$
④$\frac{4}{x + 1}=\frac{8}{x + 1}-1$的解为$x=$
$\cdots\cdots$
(1)根据你发现的规律直接写出第⑤⑥个方程及它们的解；
(2)请你用一个含正整数$n$的式子表示上述规律，并求出它的解.
①$\frac{1}{x + 1}=\frac{2}{x + 1}-1$的解为$x=$
0
；②$\frac{2}{x + 1}=\frac{4}{x + 1}-1$的解为$x=$
1
；③$\frac{3}{x + 1}=\frac{6}{x + 1}-1$的解为$x=$
2
；④$\frac{4}{x + 1}=\frac{8}{x + 1}-1$的解为$x=$
3
；$\cdots\cdots$
(1)根据你发现的规律直接写出第⑤⑥个方程及它们的解；
(2)请你用一个含正整数$n$的式子表示上述规律，并求出它的解.
答案：
解：①0 ②1 ③2 ④3
(1)第⑤个方程：$\frac{5}{x+1}=\frac{10}{x+1}-1$，它的解为$x=4$;
第⑥个方程：$\frac{6}{x+1}=\frac{12}{x+1}-1$，它的解为$x=5$.
(2)第$n$个方程：$\frac{n}{x+1}=\frac{2n}{x+1}-1$.
方程两边乘$x+1$，得$n=2n-(x+1)$.
解得$x=n-1$.
检验：当$x=n-1$时，$x+1\neq0$.
所以，原方程的解为$x=n-1$.
(1)第⑤个方程：$\frac{5}{x+1}=\frac{10}{x+1}-1$，它的解为$x=4$;
第⑥个方程：$\frac{6}{x+1}=\frac{12}{x+1}-1$，它的解为$x=5$.
(2)第$n$个方程：$\frac{n}{x+1}=\frac{2n}{x+1}-1$.
方程两边乘$x+1$，得$n=2n-(x+1)$.
解得$x=n-1$.
检验：当$x=n-1$时，$x+1\neq0$.
所以，原方程的解为$x=n-1$.
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