《2025年能力培养与测试八年级数学上册人教版》

22. 在平面直角坐标系中，直线$ l $为过点$ (2, 0) $且和$ y $轴平行的直线，对于点$ P $和正方形$ ABCD $，给出如下定义：记点$ P $关于直线$ l $对称的点为$ P' $，若点$ P' $到正方形$ ABCD $的边所在直线的最大距离是最小距离的$ k $倍，则称点$ P $是正方形$ ABCD $的“$ k $倍距离点”. 已知：点$ A(-a, -a) $，$ B(a, -a) $，$ C(a, a) $，其中$ a ＞ 0 $.
(1)当$ a = 2 $时，
①点$ D $的坐标是(-2，2)；
②在$ P_1(3, 1) $，$ P_2(-1, 1) $，$ P_3(4, 0) $三个点中，P₁是正方形$ ABCD $的“3倍距离点”；
(2)当$ a = 3 $时，点$ P(5, n) $是正方形$ ABCD $的“2倍距离点”，求$ n $的取值范围；
(3)点$ M(6, -2) $，$ N(1, 3) $，若线段$ MN $上至少存在3个点是正方形$ ABCD $的“2倍距离点”，求$ a $的取值范围.

答案：

(1) ①(-2，2) ②P₁
(2)
∵四边形ABCD为正方形，且a = 3，
∴A(-3，-3)，B(3，-3)，C(3，3)，D(-3，3).
∵P(5，n)，
∴其关于直线l的对称点为P'(-1，n)，即点P'在直线x = -1上，如图①，

当0 ≤ n ≤ 1时，点P'到AD距离最小为2，到BC距离最大为4，符合题意；
当n ＞ 1时，点P'到CD距离最小为|3 - n|，到AB距离最大为n + 3，
∴当n + 3 = 2|3 - n|时符合题意，
解得n = 1（舍）或n = 9.
∵正方形ABCD关于x轴对称，
∴当 -1 ≤ n ＜ 0和n = -9时也成立.
综上可知，当 -1 ≤ n ≤ 1或n = ±9时，点P(5，n)是正方形ABCD的“2倍距离点”.
(3)
∵A(-a，-a)，B(a，-a)，C(a，a)，且四边形ABCD为正方形，
∴D(-a，a).
∵M(6，-2)，N(1，3)，
∴其关于直线l的对称点为M'(-2，-2)，N'(3，3).
表明线段M'N'在第一、三象限的角平分线上，如图②.

设点P在线段MN上，则其关于直线l的对称点P'在线段M'N'上.
设P'(t，t)，则 -2 ≤ t ≤ 3.
点P'(t，t)到正方形ABCD的边所在直线的最大距离是最小距离的2倍，可分类讨论：
①当点P'(t，t)在正方形ABCD外部且 -2 ≤ t ＜ 0时，如图②点P₁，
∴a - t = 2(-a - t).
∴a = -$\frac{1}{3}$t.
∴0 ＜ a ≤ $\frac{2}{3}$；
②当点P'(t，t)在正方形ABCD内部且 -2 ≤ t ＜ 0时，如图②点P₂，
∴a - t = 2(a + t).
∴a = -3t.
∴0 ＜ a ＜ 6；
③当点P'(t，t)在正方形ABCD内部且0 ≤ t ≤ 3时，如图②点P₃，
∴a + t = 2(a - t).
∴a = 3t.
∴0 ＜ a ≤ 9；
④当点P'(t，t)在正方形ABCD外部且0 ≤ t ≤ 3时，如图②点P₄，
∴a + t = 2(-a + t).
∴a = $\frac{1}{3}$t.
∴0 ＜ a ≤ 1.
∵线段MN上至少存在3个点是正方形ABCD的“2倍距离点”，
∴当P₁，P₂，P₃符合时，即0 ＜ a ≤ $\frac{2}{3}$；当P₂，P₃，P₄符合时，即0 ＜ a ≤ 1；
当P₁，P₂，P₃，P₄符合时，即0 ＜ a ≤ $\frac{2}{3}$.综上可知，a的取值范围是0 ＜ a ≤ 1.