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21. 如图，在$ \triangle ABC $中，$ \angle BAC = 90^{\circ} $，点$ D $在边$ AC $上，$ \angle ADB = 2\angle ABC $.
(1)请在图①中，画出$ \triangle ABC $关于$ AB $对称的$ \triangle ABE $；
(2)利用(1)中画出的图形，求证$ BD = CD + 2AD $；
(3)如图②，点$ P $在$ BC $边上，$ \angle ADB = \angle CDP $，将点$ P $和(1)画出的点$ E $相连，请直接写出$ \angle BPE $和$ \angle CPD $的关系式：
(1)请在图①中，画出$ \triangle ABC $关于$ AB $对称的$ \triangle ABE $；
(2)利用(1)中画出的图形，求证$ BD = CD + 2AD $；
(3)如图②，点$ P $在$ BC $边上，$ \angle ADB = \angle CDP $，将点$ P $和(1)画出的点$ E $相连，请直接写出$ \angle BPE $和$ \angle CPD $的关系式：
∠BPE + 2∠CPD = 180°
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答案：
(1)解：△ABC关于AB对称的△ABE如图①所示.
(2) 证明：在AE上取点F，使AF = AD，连接BF，如图②所示.
∵∠DBC + ∠C = ∠ADB，
∠ADB = 2∠ABC = ∠EBC，
∠EBC = ∠EBD + ∠DBC，
∴∠DBC + ∠C = ∠DBC + ∠EBD.
∴∠C = ∠EBD.
∵∠C = ∠E，
∴∠EBD = ∠E.
∴BD = DE.
∵CA = AE，AD = AF，
∴CA - AD = AE - AF，即CD = EF.
∵DE = 2AD + EF，
∴BD = CD + 2AD.
(3) 解：∠BPE + 2∠CPD = 180°
(1)解：△ABC关于AB对称的△ABE如图①所示.
(2) 证明：在AE上取点F，使AF = AD，连接BF，如图②所示.
∵∠DBC + ∠C = ∠ADB，
∠ADB = 2∠ABC = ∠EBC，
∠EBC = ∠EBD + ∠DBC，
∴∠DBC + ∠C = ∠DBC + ∠EBD.
∴∠C = ∠EBD.
∵∠C = ∠E，
∴∠EBD = ∠E.
∴BD = DE.
∵CA = AE，AD = AF，
∴CA - AD = AE - AF，即CD = EF.
∵DE = 2AD + EF，
∴BD = CD + 2AD.
(3) 解：∠BPE + 2∠CPD = 180°
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