《2025年能力培养与测试八年级数学上册人教版》

19. 如图，在$ \triangle ABC $中，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，$ CD $是$ AB $边上的高，$ AE $是$ \angle BAC $的平分线，$ AE $与$ CD $交于点$ F $. 求证：$ \triangle CEF $是等腰三角形.

答案： 证明：在△ABC中，
∵∠ACB = 90°，
∴∠B + ∠BAC = 90°.
∵CD是边AB上的高，
∴∠ACD + ∠BAC = 90°.
∴∠B = ∠ACD.
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE = ∠EAC.
∴∠B + ∠BAE = ∠ACD + ∠EAC，
即∠CEF = ∠CFE.
∴CE = CF.
∴△CEF是等腰三角形.

20. 综合实践课上，李老师带领同学们探究了这样的问题：
【课本回顾】
在学习等腰三角形时，学习了定理：在一个三角形中，等边对等角. 反之，等角对等边.

【问题探究】
(1)在一个三角形中，如果边不相等，那么其所对的角有什么关系呢？同学们猜测：大边对大角.
如图，在$ \triangle ABC $中，$ AB ＞ AC $. 求证$ \angle C ＞ \angle B $.
经同学们的讨论，小欣同学提出可以利用对称思想解决.
由此，以下三名同学给出了自己的解决方法：

请你用上述同学的思路方法，完整写出其中一个证明.
证明：
【知识应用】
(2)如果一个三角形最大边所对的角是锐角，那么这个三角形是(A).
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 不能确定
(3)在$ \triangle ABC $中，已知$ AB ＞ BC ＞ CA $，用“$ ＞ $”连接$ \angle A $，$ \angle B $，$ \angle C $应为∠C ＞ ∠A ＞ ∠B.
【问题拓展】
(4)如果把“在一个三角形中，如果边的长度大，那么边所对的角大”作定理.
①写出这个定理的逆定理：在一个三角形中，如果角大，那么这个角所对的边长；
②证明这个逆定理(要求：画出图形，依照图形写出完整证明过程).

答案：

(1)(答案不唯一)选择小欣的思路.
证明：作∠BAC的平分线，交BC于点D，在AB上截取AE = AC，连接DE.
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD = ∠CAD.
在△ADE和△ADC中，$\begin{cases}AE = AC \\∠EAD = ∠CAD \\AD = AD\end{cases}$
∴△ADE≌△ADC（SAS）.
∴∠AED = ∠C.
∵∠AED是△BDE的外角，
∴∠AED ＞ ∠B.
∴∠C ＞ ∠B.
选择小晶的思路.
证明：作∠BAC的平分线，交BC于点D，在AC的延长线上截取AE = AB，连接DE.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD = ∠EAD.
又AE = AB，AD = AD，
∴△ABD≌△AED（SAS）.
∴∠B = ∠E.
∵∠ACD是△CDE的外角，
∴∠ACD ＞ ∠E.
∴∠ACD ＞ ∠B.
选择小皓的思路.
证明：作AD⊥BC，垂足为D，在DB上截取DE = DC，连接AE.
∵DE = DC，AD⊥BC，
∴AC = AE.
∴∠C = ∠AED.
∵∠AED是△BAE的外角，
∴∠AED ＞ ∠B.
∴∠C ＞ ∠B.
(2) A
(3) ∠C ＞ ∠A ＞ ∠B
(4) ①在一个三角形中，如果角大，那么这个角所对的边长
②已知：在△ABC中，∠C ＞ ∠B.
求证：AB ＞ AC.
证明：如图，在∠ACB的内部，以C为顶点，以CB为一边作∠DCB = ∠B，另一边与AB交于点D.

∵∠DCB = ∠B，
∴BD = CD.
∵AB = AD + BD，
∴AB = AD + CD.
在△ADC中，AD + CD ＞ AC，
∴AB ＞ AC.