《2025年能力培养与测试八年级数学上册人教版》

18. 如图，在$\triangle ABC$中，$AD$平分$\angle BAC$.
（1）尺规作图：作线段$AD$的垂直平分线$EF$，垂足为点$O$，分别交$AB$，$AC$于点$E$，$F$. 连接$DF$（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，猜想线段$DF$与$AE$的关系，并说明理由.

答案：
解：
(1) 如图，直线EF即为所求.

(2) 线段DF与AE平行且相等.
理由如下：
∵ 直线EF为线段AD的垂直平分线，
∴ OA = OD，AF = DF.
∴ ∠DAF = ∠ADF.
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD = ∠FAD.
∴ ∠BAD = ∠ADF.
∴ AE//DF.
在△AOE和△DOF中，
$\begin{cases} ∠BAD = ∠ADF, \\ AO = DO, \\ ∠AOE = ∠DOF, \end{cases}$
∴ △AOE≌△DOF（ASA）.
∴ DF = AE.
∴ 线段DF与AE平行且相等.

19. 如图，在等腰三角形$ABC$中，$CA = CB = 4$，$\angle ACB = 120^{\circ}$，点$D$在线段$AB$上运动（不与点$A$，$B$重合），将$\triangle CAD$与$\triangle CBD$分别沿直线$CA$，$CB$翻折得到$\triangle CAP$与$\triangle CBQ$.
（1）求证$CP = CQ$；
（2）求$\angle PCQ$的度数；
（3）当$D$是$AB$的中点时，判断$\triangle DPQ$是何种三角形，并说明理由.

答案：
(1) 证明：
∵ 将△CAD与△CBD分别沿直线CA，CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴ CP = CD = CQ.
(2) 解：
∵ 将△CAD与△CBD分别沿直线CA，CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴ ∠ACP = ∠ACD，∠BCQ = ∠BCD.
∴ ∠ACP + ∠BCQ = ∠ACD + ∠BCD = ∠ACB = 120°.
∴ ∠PCQ = 360° - (∠ACP + ∠BCQ + ∠ACB) = 360° - (120° + 120°) = 120°.
(3) 解：△DPQ是等边三角形. 理由如下：
∵ 将△CAD与△CBD分别沿直线CA，CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴ AD = AP，∠DAC = ∠PAC.
∵ ∠DAC = $\frac{1}{2}$(180° - ∠ACB) = 30°，
∴ ∠PAD = 60°.
∴ △APD是等边三角形.
∴ PD = AD，∠ADP = 60°.
同理，△BDQ是等边三角形，
∴ DQ = BD，∠BDQ = 60°.
∴ ∠PDQ = 60°.
当D是AB的中点时，AD = BD，
∴ PD = DQ.
∴ △DPQ是等边三角形.