《2025年能力培养与测试八年级数学上册人教版》

15. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$BC = 6\,cm$，$AB$的垂直平分线交$AB$于点$D$，交$AC$于点$E$，点$F$为$BC$的中点，点$M$为线段$DE$上一动点. 若$\triangle BFM$周长的最小值为$10\,cm$，则$\triangle ABC$的面积是21$cm^2$.

答案： 21

16. 如图，在正方形网格中，小正方形的边长为$1$，点$A$，$B$，$C$，$M$，$N$都在格点上.

（1）作$\triangle ABC$关于直线$MN$对称的$\triangle A_1B_1C_1$；
（2）在直线$MN$上找一点$P$，使$\triangle PAC$的周长最小，在图中标出点$P$的位置；
（3）求出$\triangle ABC$的面积.

答案：
解：
(1) 如图，△A₁B₁C₁即为所求.
(2) 如图，连接AC₁，交直线MN于点P，连接CP，
此时△PAC的周长为AC+AP+CP=AC+AP+C₁P=AC+AC₁，为最小值，
则点P即为所求.

(3) △ABC的面积为2×4 - $\frac{1}{2}$×1×3 - $\frac{1}{2}$×1×2 - $\frac{1}{2}$×1×4 = $\frac{7}{2}$.

17. 如图，在$\triangle ABC$中，$AD\perp BC$，垂足为$D$，$\angle C = 2\angle B$，$CD = 4$.
（1）若$\angle BAC = 90^{\circ}$，求$BD$的长度；
（2）若$AC = 10$，求$BD$的长度.

答案：
解：
(1)
∵ ∠BAC = 90°，
∴ ∠B + ∠C = 90°.
∵ ∠C = 2∠B，
∴ ∠C = 60°，∠B = 30°.
∴ ∠CAD = 30°.
在Rt△ACD中，∠CAD = 30°，CD = 4，
∴ AC = 2CD = 8.
在Rt△ABC中，∠B = 30°，AC = 8，
∴ BC = 2AC = 16.
∴ BD = BC - CD = 12.
(2) 如图，在BC上取点E，使AE = AC = 10，

则∠AEC = ∠C.
∵ ∠AEC = ∠EAB + ∠B，∠C = 2∠B，
∴ ∠EAB = ∠B.
∴ BE = AE = 10.
∵ AD⊥BC，
∴ ED = CD = 4.
∴ BD = BE + ED = 14.