《2025年学习之友七年级数学上册北师大版》

6. 计算下列各题：
(1) $-4^2$；
(2) $-(-\frac{2}{3})^2$；
(3) $-\frac{3}{4^2}$；
(4) $-(\frac{2}{5})^2$；
(5) $(-2)^4$；
(6) $-\frac{-(2)^4}{5}$.

答案：
(1)解:原式$=-(4×4)=-16.$
(2)解:原式$=-[(-\frac{2}{3})×(-\frac{2}{3})]=-\frac{4}{9}.$
(3)解:原式$=-\frac{3}{4×4}=-\frac{3}{16}.$
(4)解:原式$=-(\frac{2}{5}×\frac{2}{5})=-\frac{4}{25}.$
(5)解:原式$=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16.$
(6)解:原式$=\frac{2^{4}}{5}=\frac{2×2×2×2}{5}=\frac{16}{5}.$

7. 如果一个数的立方等于-8,这个数是几？如果一个数的四次方等于81,这个数可能是多少呢？

答案： 解:因为$(-2)^{3}=-8$,所以这个数是$-2$;因为$(\pm3)^{4}=81$,所以这个数是$\pm3.$

8. 已知$|x - 2| + (y + 3)^2 = 0$,求$y^x$的值.

答案： 解:由$|x-2|+(y+3)^{2}=0$得:$x=2,y=-3$则$y^{x}=(-3)^{2}=9.$

1. 计算$397^4×(\frac{1}{397})^4$,并由此猜想：
(1) $397^{10}×(\frac{1}{397})^{10}$的值是多少？
(2) $397^{2024}×(\frac{1}{397})^{2024}$的值是多少？

答案：
(1)$\frac{(\underbrace{397×397×\cdots×397}_{10个})×(\underbrace{\frac{1}{397}×\frac{1}{397}×\cdots×\frac{1}{397}}_{10个})}{}$$=(397×\frac{1}{397})^{10}=1^{10}=1.$
(2)$\frac{(\underbrace{397×397×\cdots×397}_{2020个})×(\underbrace{\frac{1}{397}×\frac{1}{397}×\cdots×\frac{1}{397}}_{2020个})}{}$$=(397×\frac{1}{397})^{2020}=1^{2020}=1.$

2. 已知$a^3 = -1$.求：
(1) $1 + a + a^2 + a^3 + … + a^{2025}$的值；
(2) $a\cdot a^2\cdot a^3…\cdot\cdot a^{2025}$的值.

答案： 解:
(1)原式$=1+(-1)+1+(-1)+\cdots+(-1)=0.$
(2)原式$=-1×1×(-1)×1×\cdots×(-1)=-1.$

3. 看过电视剧《西游记》的同学一定很喜欢孙悟空的金箍棒,它能随意伸缩.假设它最短时只有1cm,第1次变化后为3cm,第2次变化后为9cm,第3次变化后为27cm……照此规律变下去,第几次变化后才能得到243cm？

答案： 解:由题意可知,每次变化之后金箍棒的长度依次为:第一次:$3=3^{1}\ cm$第二次:$9=3^{2}\ cm$第三次:$27=3^{3}\ cm$…综上可得，第$n$次变化后金箍棒的长度为$3^{n}\ cm.$综合题意,得$3^{n}=243$解得,$n=5.$答:第5次变化后才能得到243 cm.