《2025年学习与评价江苏凤凰教育出版社八年级数学上册苏科版》

2. 有一根长 70 cm 的木棒,要放入如图所示的长、宽、高分别是 50 cm,40 cm,30 cm 的木箱中,能放进去吗？

答案： 【解析】：
本题主要考查了勾股定理的应用，要判断长$70cm$的木棒是否能放入长、宽、高分别为$50cm$，$40cm$，$30cm$的木箱中，需要先求出木箱内部能容纳的最长线段的长度，这可以通过勾股定理求出木箱底面长方形的对角线长度，再利用勾股定理求出木箱内部空间的对角线长度来得到，最后将这个长度与木棒的长度进行比较。
1. 首先，求木箱底面长方形的对角线长度。
已知木箱底面长方形的长$a = 50cm$，宽$b = 40cm$。
根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，设底面长方形的对角线长度为$c_1$，则$c_1^{2}=a^{2}+b^{2}$。
代入$a = 50$，$b = 40$可得：$c_1^{2}=50^{2}+40^{2}=2500 + 1600=4100$，所以$c_1=\sqrt{4100}$。
2. 然后，求木箱内部空间的对角线长度。
设木箱内部空间的对角线长度为$c$，此时可以把木箱看作一个长方体，底面长方形的对角线$c_1$和木箱的高$h = 30cm$与木箱内部空间的对角线$c$构成一个直角三角形，其中$c$为斜边。
根据勾股定理$c^{2}=c_1^{2}+h^{2}$，已知$c_1^{2}=4100$，$h = 30$，则$c^{2}=4100+30^{2}=4100 + 900 = 5000$。
所以$c=\sqrt{5000}\approx70.71cm$。
3. 最后，比较木箱内部空间的对角线长度与木棒的长度。
已知木棒长$70cm$，因为$70.71cm＞70cm$，所以能将长$70cm$的木棒放入木箱中。
【答案】：
能放进去。理由如下：
设木箱的长、宽、高分别为$a = 50cm$，$b = 40cm$，$h = 30cm$。
先求木箱底面长方形的对角线长度$c_1$，根据勾股定理$c_1^{2}=a^{2}+b^{2}=50^{2}+40^{2}=4100$。
再求木箱内部空间的对角线长度$c$，由勾股定理$c^{2}=c_1^{2}+h^{2}=4100 + 30^{2}=5000$，则$c=\sqrt{5000}\approx70.71cm$。
因为$70.71cm＞70cm$，所以能将长$70cm$的木棒放入木箱中。

3. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,CD 是边 AB 上的高. 求证：$ AC^{2}= AD\cdot AB $.

答案： 【解析】：
本题可根据相似三角形的判定定理和性质来证明$AC^{2}=AD\cdot AB$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD$是边$AB$上的高，所以$\angle ADC=\angle ACB = 90^{\circ}$。
又因为$\angle A$是$\triangle ACD$和$\triangle ABC$的公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ACD\sim\triangle ABC$。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，交叉相乘即可得到$AC^{2}=AD\cdot AB$。
【答案】：
证明：
∵$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$，
∴$\angle ADC=\angle ACB = 90^{\circ}$。
又
∵$\angle A=\angle A$，
∴$\triangle ACD\sim\triangle ABC$。
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
即$AC^{2}=AD\cdot AB$。

4. 在数轴上画出$ \sqrt{7} $对应的点.

答案： 解：1. 在数轴上找到点O
(0)，作射线Ox。
2. 在Ox上取点A，使OA=2。
3. 过点A作直线垂直于Ox，在垂线上取点B，使AB=√3（注：此处应为AB=√3，但实际作图时，√3可通过直角边为1和√2得到，而√2可由直角边为1和1得到，为简化，直接取AB=√3的等价操作：以A为直角顶点，作直角边为√3，此处实际作图时，更规范的是取直角边为$√( (√7)^2 - 2^2 )=√3，$而√3可通过先作√2（直角边1,1），再以√2和1为直角边作斜边得√3。但按初中要求，可简化表述为：过A作垂线，截取AB=√3，实际操作中可通过两次勾股定理作图实现，但此处直接按最终步骤表述）。
4. 连接OB，由勾股定理得OB=√(OA²+AB²)=√(2²+(√3)²)=√7。
5. 以O为圆心，OB长为半径画弧，交Ox于点C，则点C即为数轴上表示√7的点。

5. 设△ABC 的三边长分别为a,b,c. 如果$ a^{2}+b^{2}＞c^{2} $,判断△ABC 的形状. 如果$ a^{2}+b^{2}＜c^{2} $呢?

答案： 【解析】：
本题主要考查勾股定理的逆定理及其推论。
首先，我们回顾勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边满足$a^2 + b^2 = c^2$，那么这个三角形是直角三角形。
接下来，我们根据题目给出的条件进行分析：
1. 当$a^2 + b^2 ＞ c^2$时：
我们可以推断出，该三角形不满足直角三角形的条件（即$a^2 + b^2 \neq c^2$）。
由于$a^2 + b^2$的值大于$c^2$，说明角C所对应的边c的平方小于另外两边平方的和，从而角C必然为锐角。
因此，当三角形中最大的边（这里是c）的平方小于另外两边的平方和时，该三角形为锐角三角形。
2. 当$a^2 + b^2 ＜ c^2$时：
同样，这个三角形也不满足直角三角形的条件。
由于$a^2 + b^2$的值小于$c^2$，说明角C所对应的边c的平方大于另外两边平方的和，从而角C必然为钝角。
因此，当三角形中最大的边（这里是c）的平方大于另外两边的平方和时，该三角形为钝角三角形。
【答案】：
当$a^2 + b^2 ＞ c^2$时，$\bigtriangleup ABC$是锐角三角形；
当$a^2 + b^2 ＜ c^2$时，$\bigtriangleup ABC$是钝角三角形。