《2025年学习与评价江苏凤凰教育出版社八年级数学上册苏科版》

1.(1)下午3时,8 m高的旗杆的影长是6 m,此时旗杆顶端与影子顶端之间的距离是10m；
(2)如图,一个宽为1 m、高为2.4 m的木门,需在相对角的顶点间加固一块木板,该木板的长为2.6m.


(3)如图,要为一段高5 m、长13 m的楼梯铺上红地毯,至少需要红地毯17m.
(4)如图所示的零件上A和B两孔中心之间的距离为50.


(5)如图所示的徽标是我国古代弦图的变形,该图是由Rt△ABC绕中心点O按顺时针方向连续旋转3次,每次旋转90°得到的.若中间小正方形的面积是1,徽标图形的总面积是113,AD= 2,则徽标的外围周长是68.

答案： 1.
(1) 解：由勾股定理得，旗杆顶端与影子顶端之间的距离为 $\sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ m。
(2) 解：由勾股定理得，木板长为 $\sqrt{1^2 + 2.4^2} = \sqrt{1 + 5.76} = \sqrt{6.76} = 2.6$ m。
(3) 解：楼梯水平宽度为 $\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ m，红地毯长度为 $5 + 12 = 17$ m。
(4) 解：水平距离为 $60 - 20 = 40$，垂直距离为 $50 - 20 = 30$，由勾股定理得，A、B 距离为 $\sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50$。
(5) 解：设 $AC = b$，$BC = a$，由题意得 $a - b = 1$，$4 × \frac{1}{2}ab + 1 = 113$，即 $ab = 56$。又 $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 1$，得 $a^2 + b^2 = 113$，即 $AB^2 = 113$，$AB = \sqrt{113}$（此处修正：外围周长计算应为 $4(a + b + AD)$，由 $a + b = \sqrt{(a - b)^2 + 4ab} = \sqrt{1 + 224} = 15$，则周长为 $4 × (15 + 2) = 68$）。
答案：
(1) 10；
(2) 2.6；
(3) 17；
(4) 50；
(5) 68。

2. 如图,一个儿童游戏场所的AB段和BC段均用不锈钢管材打造,总长度为26 m,长方形CDEF为木质平台的主视图.小敏测量得知CD= 1 m,AD= 15 m,于是猜想立柱AB段的长为10 m.请判断小敏的猜想是否正确,若正确,请写出理由；若错误,请求出立柱AB段的正确长度.

答案： 解：设AB段的长为x m，则BC段的长为(26 - x)m。
由题意知，AD = 15 m，CD = 1 m，且四边形CDEF是长方形，所以CD⊥DE，即CD⊥AD，因此∠ADC = 90°。
则BD = AB - CD = (x - 1)m（此处需注意：根据图形，B、C、D的位置关系应为BC为斜边，过C作AD的垂线，垂足为D，所以AB为竖直线段，AD为水平线段，CD为垂直于AD的竖直线段，故AB = AD方向上的水平距离为AD，垂直方向上BC的竖直距离为AB - CD，水平距离为AD）。
在Rt△BCD中，BC² = BD² + CD²？？？（修正：应为BC² = (AD)² + (AB - CD)²，因为AD是水平距离，AB - CD是竖直距离）
即(26 - x)² = 15² + (x - 1)²
展开得：676 - 52x + x² = 225 + x² - 2x + 1
化简得：676 - 52x = 226 - 2x
移项得：-52x + 2x = 226 - 676
-50x = -450
x = 9
答：小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度为9 m。

3. 如图,10 m长的梯子AB斜靠在墙上,梯子顶端到地面的垂直距离为8 m.梯子顶端下滑2 m,它的底端是否也滑动2 m？梯子顶端下滑1 m,它的底端是否也滑动1 m？

答案： 【解析】：
本题考查勾股定理的应用，需要先根据勾股定理求出梯子底端原来距离墙面的距离，再分别求出梯子顶端下滑$2m$和$1m$后，底端距离墙面的距离，最后与$2m$和$1m$比较，判断底端滑动的距离。
已知梯子长$AB = 10m$，梯子顶端到地面的垂直距离$AC = 8m$，在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可求出梯子底端原来距离墙面$BC$的长度。
当梯子顶端下滑$2m$后，求出此时顶端距离地面的高度和底端距离墙面的长度，进而求出底端滑动的距离。
当梯子顶端下滑$1m$后，同理求出此时顶端距离地面的高度和底端距离墙面的长度，再求出底端滑动的距离。
【答案】：
解：在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2} - 8^{2}} = 6$（$m$）。
当梯子顶端下滑$2m$到$A'C = 8 - 2 = 6$（$m$）处，
在$Rt\triangle A'BC'$中，$C'B=\sqrt{A'B^{2}-A'C^{2}}=\sqrt{10^{2} - 6^{2}} = 8$（$m$），
则$CC' = 8 - 6 = 2$（$m$），即底端也滑动$2m$。
当梯子顶端下滑$1m$到$A_1C = 8 - 1 = 7$（$m$）处，
在$Rt\triangle A_1BC_1$中，$C_1B=\sqrt{A_1B^{2}-A_1C^{2}}=\sqrt{10^{2} - 7^{2}}=\sqrt{51}\approx 7.14$（$m$），
则$CC_1 = 7.14 - 6 = 1.14\neq1$（$m$），即底端不是滑动$1m$。
综上，梯子顶端下滑$2m$，它的底端也滑动$2m$；梯子顶端下滑$1m$，它的底端不是滑动$1m$。