《2025年学习与评价江苏凤凰教育出版社八年级数学上册苏科版》

2002年国际数学家大会在中国北京举行,这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会.这次大会的会徽(图3-1)选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图,弘扬了我国古代的数学文化.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较短直角边长为a,较长直角边长为b,那么你能求出$(a+b)^{2}$的值吗？

答案： 【解析】：
本题考查了勾股定理和完全平方公式，解题的关键是利用勾股定理和完全平方公式求出$(a+b)^{2}$的值。
根据勾股定理，我们可以得到$a^{2} + b^{2} = c^{2}$，其中c是直角三角形的斜边。
又因为大正方形的面积是13，所以$c^{2} = 13$，即$a^{2} + b^{2} = 13$。
因为小正方形的面积是1，且小正方形的边长是$b-a$（通过图形可以观察得出），所以我们有$(b-a)^{2} = 1$。
展开$(b-a)^{2} = 1$，我们得到$b^{2} - 2ab + a^{2} = 1$。
将这个等式与$a^{2} + b^{2} = 13$联立，我们可以得到$2ab = 12$。
接下来，我们利用完全平方公式$(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$，
将已知的$a^{2} + b^{2} = 13$和$2ab = 12$代入，
得到$(a+b)^{2} = 13 + 12 = 25$。
【答案】：
$(a+b)^{2} = 25$

例1 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,两条直角边分别为a,b,斜边为c.
(1)已知$a= 6$,$c= 10$,求b；
(2)已知$a= 40$,$b= 9$,求c；
(3)已知$b= 8$,$c= 17$,求a.

答案： 解：
(1)在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，由勾股定理得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。已知$a=6$，$c=10$，则$6^{2}+b^{2}=10^{2}$，$36 + b^{2}=100$，$b^{2}=64$，解得$b=8$。
(2)在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，由勾股定理得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。已知$a=40$，$b=9$，则$40^{2}+9^{2}=c^{2}$，$1600 + 81=c^{2}$，$c^{2}=1681$，解得$c=41$。
(3)在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，由勾股定理得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。已知$b=8$，$c=17$，则$a^{2}+8^{2}=17^{2}$，$a^{2}+64=289$，$a^{2}=225$，解得$a=15$。

例2 在数轴上画出$-\sqrt{2}$对应的点.

答案： 解：1. 在数轴上找到原点O，过原点O作数轴的垂线，在垂线上截取OA=1个单位长度；
2. 连接点A与数轴上表示1的点B，则AB的长度为$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$；
3. 以原点O为圆心，AB长为半径画弧，交数轴负半轴于点C；
4. 点C即为数轴上表示$-\sqrt{2}$的点。