《2025年学习与评价江苏凤凰教育出版社八年级数学上册苏科版》

例1 下列各数中,哪些是有理数？哪些是无理数？哪些是实数？
$-0.\dot{2}$,$\frac{\pi}{3}$,0,$\sqrt{4}$,$\sqrt[3]{9}$,$\frac{22}{7}$,$-\sqrt{8}$,3.14,0.2121121112…(每两个2之间1的个数逐次增加),$\sqrt[3]{-1}$.

答案： 【解析】：
本题要求我们将给定的数分类为有理数、无理数和实数。
有理数：可以表示为两个整数的比的数，即分数形式。包括整数、有限小数、无限循环小数。
无理数：不能表示为两个整数的比的数，即不是分数形式的数。例如某些无法开尽方的平方根、π等。
实数：有理数和无理数的统称。
根据这些定义，我们可以开始分类：
$-0.\dot{2}$：这是一个无限循环小数，所以是有理数。
$\frac{\pi}{3}$：π是一个无理数，所以其任意非零倍数也是无理数。
$0$：这是一个整数，所以是有理数。
$\sqrt{4}$：这等于2，是一个整数，所以是有理数。
$\sqrt[3]{9}$：9的立方根不能表示为两个整数的比，所以是无理数。
$\frac{22}{7}$：这是一个分数，所以是有理数。
$-\sqrt{8}$：这等于$-2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，所以$-2\sqrt{2}$也是无理数。
$3.14$：这是一个有限小数，所以是有理数。
$0.2121121112\ldots$（每两个2之间1的个数逐次增加）：这是一个无限不循环小数，所以是无理数。
$\sqrt[3]{-1}$：这等于-1，是一个整数，所以是有理数。
【答案】：
有理数：$-0.\dot{2}$，$0$，$\sqrt{4}$，$\frac{22}{7}$，$3.14$，$\sqrt[3]{-1}$；
无理数：$\frac{\pi}{3}$，$\sqrt[3]{9}$，$-\sqrt{8}$，$0.2121121112\ldots$（每两个2之间1的个数逐次增加）；
实数：$-0.\dot{2}$，$\frac{\pi}{3}$，$0$，$\sqrt{4}$，$\sqrt[3]{9}$，$\frac{22}{7}$，$-\sqrt{8}$，$3.14$，$0.2121121112\ldots$（每两个2之间1的个数逐次增加），$\sqrt[3]{-1}$。

例2 求下列各数的值：
(1)$\pm\sqrt{\frac{4}{81}}$；
(2)$-\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}$；
(3)$\sqrt{(-13)^2}$；
(4)$\sqrt[3]{2+\frac{10}{27}}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查平方根、算术平方根、立方根的性质和计算。对于每一个小题，我们需要根据根号的性质，将数值代入公式进行计算。
(1)要求$\pm\sqrt{\frac{4}{81}}$的值，可以直接利用平方根的定义求
(2)要求$-\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}$的值，可以直接利用立方根的定义求
(3)要求$\sqrt{(-13)^2}$的值，注意到负数的平方是正数，再利用平方根的定义；
(4)要求$\sqrt[3]{2+\frac{10}{27}}$的值，需要先对分数进行化简，再利用立方根的定义。
【答案】：
(1)解：
$\pm\sqrt{\frac{4}{81}} = \pm \frac{2}{9}$
(2)解：
$-\sqrt[3]{-\frac{1}{27}} =- ( - \frac{1}{3})= \frac{1}{3}$
(3)解：
$\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13$
(4)解：
首先将分数化简，
$2+\frac{10}{27} = \frac{54}{27} + \frac{10}{27} = \frac{64}{27}$，
然后求立方根，
$\sqrt[3]{\frac{64}{27}} = \frac{4}{3}$。

1. 填空题：
(1)36的平方根是±6,49的算术平方根是7,-64的立方根是-4.
(2)在实数0.23,$\sqrt{16}$,$2\pi$,$\sqrt{2}$,$\frac{1}{3}$,$-\sqrt[3]{49}$,0.2020020002…(相邻两个2之间0的个数逐次增加)中,无理数有3个.
(3)$\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}$的倒数是$-\frac{3}{2}$,$2-\sqrt{5}$的绝对值是$\sqrt{5}-2$.
(4)下列关于$\sqrt{13}$的说法中,正确的有②③④(填序号).
①13的平方根是$\sqrt{13}$；②$\sqrt{13}$是13的算术平方根；③$\sqrt{13}$是无理数；④$3＜\sqrt{13}＜4$.
(5)1062000精确到万位是$1.06×10^{6}$,近似值1.29万是精确到百位.

答案： 【解析】：
本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的概念，无理数的识别，倒数的求法，绝对值的求法，平方根与算术平方根的区别，无理数的判断，以及实数与数轴的关系，近似数和有效数字。
(1)利用平方根，算术平方根，立方根的定义求解。
(2)利用无理数的定义求解，无理数是指无限不循环小数。
(3)利用立方根的定义先求出$\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}$的值，再利用倒数的定义求出其倒数，利用绝对值的定义求出$2-\sqrt{5}$的绝对值，因为$\sqrt{5}$大于2，所以$2-\sqrt{5}$是负数，其绝对值为$\sqrt{5}-2$。
(4)利用平方根与算术平方根的区别，无理数的判断，实数与数轴的关系等知识点进行判断。
(5)利用近似数和有效数字的定义求解，1062000精确到万位，需要看千位的数字，千位是2，小于5，所以万位数字不变，后面写0，即$1.062 × 10^{6}$近似为$1.06 × 10^{6}$；1.29万是精确到百位，因为百位是9，是保留数字的最后一位。
【答案】：
(1)$\pm 6$；7；-4
(2)3
(3)$-\frac{3}{2}$；$\sqrt{5} - 2$
(4)②③④
(5)$1.06 × 10^{6}$；百