《2025年学习与评价江苏凤凰教育出版社八年级数学上册苏科版》

5. 如图,在△ABC中,已知点O到边AB,AC的距离分别是OD,OE,且OD= OE,OB= OC.
(1) 如图①,若点O在边BC上,补全图形并证明AB= AC;
(2) 如图②,若点O在△ABC的内部,补全图形并证明AB= AC.

答案：
(1) 补全图形：过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E。
证明：
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ODB=∠OEC=90°。
在Rt△ODB和Rt△OEC中，OB=OC，OD=OE，
∴Rt△ODB≌Rt△OEC（HL）。
∴∠B=∠C，
∴AB=AC。
(2) 补全图形：过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E。
证明：
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ODB=∠OEC=90°。
在Rt△ODB和Rt△OEC中，OB=OC，OD=OE，
∴Rt△ODB≌Rt△OEC（HL）。
∴∠OBD=∠OCE。
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB。
∴∠OBD+∠OBC=∠OCE+∠OCB，即∠ABC=∠ACB。
∴AB=AC。

6. 如图,在△ABC和△A'B'C'中,AC= A'C',BC= B'C',∠B= ∠B',且∠B,∠B'都是钝角.求证:△ABC≌△A'B'C'.

答案： 证明：分别过点C、C'作CD⊥AB交AB延长线于点D，C'D'⊥A'B'交A'B'延长线于点D'。
∵∠ABC、∠A'B'C'是钝角，
∴点D在AB延长线上，点D'在A'B'延长线上。
∴∠CBD=180°-∠ABC，∠C'B'D'=180°-∠A'B'C'。
∵∠ABC=∠A'B'C'，
∴∠CBD=∠C'B'D'。
在△CBD和△C'B'D'中，
∠CDB=∠C'D'B'=90°，
∠CBD=∠C'B'D'，
BC=B'C'，
∴△CBD≌△C'B'D'（AAS）。
∴CD=C'D'，BD=B'D'。
在Rt△ACD和Rt△A'C'D'中，
AC=A'C'，
CD=C'D'，
∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'（HL）。
∴AD=A'D'。
∵AD=AB+BD，A'D'=A'B'+B'D'，BD=B'D'，
∴AB=A'B'。
在△ABC和△A'B'C'中，
AB=A'B'，
∠ABC=∠A'B'C'，
BC=B'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'（SAS）。