《2025年学习与评价江苏凤凰教育出版社八年级数学上册苏科版》

6. 如图,在△ABC中,CD是边AB上的中线,且CD= $\frac{1}{2}$AB.△ABC是直角三角形吗？请说明理由.

答案： 【解析】：本题可根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理来判断$\triangle ABC$是否为直角三角形。
已知$CD$是边$AB$上的中线，且$CD = \frac{1}{2}AB$，由此可得$AD = BD=CD$。
在$\triangle ACD$中，因为$AD = CD$，根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，所以$\angle A=\angle ACD$。
在$\triangle BCD$中，因为$BD = CD$，同理可得$\angle B=\angle BCD$。
又因为$\angle A+\angle B+\angle ACB = 180^{\circ}$，而$\angle ACB=\angle ACD+\angle BCD$，将$\angle A=\angle ACD$，$\angle B=\angle BCD$代入到$\angle A+\angle B+\angle ACB = 180^{\circ}$中，可得$2\angle ACD + 2\angle BCD=180^{\circ}$，即$\angle ACB=\angle ACD+\angle BCD = 90^{\circ}$。
有一个角为$90^{\circ}$的三角形是直角三角形，所以$\triangle ABC$是直角三角形。
【答案】：$\triangle ABC$是直角三角形。理由如下：
因为$CD$是边$AB$上的中线，所以$AD = BD$。
又因为$CD=\frac{1}{2}AB$，所以$AD = BD = CD$。
在$\triangle ACD$中，$AD = CD$，所以$\angle A=\angle ACD$。
在$\triangle BCD$中，$BD = CD$，所以$\angle B=\angle BCD$。
因为$\angle A+\angle B+\angle ACB = 180^{\circ}$，且$\angle ACB=\angle ACD+\angle BCD$，所以$2\angle ACD + 2\angle BCD=180^{\circ}$，即$\angle ACD+\angle BCD = 90^{\circ}$，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$。
因此，$\triangle ABC$是直角三角形。

7. 在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,D是斜边AB上的一点,且CD= $\frac{1}{2}$AB.CD是AB边上的中线吗？若是,请说明理由；若不是,请举出反例.

答案： 证明：CD是AB边上的中线。
取AB中点E，连接CE。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是AB中点，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得CE=$\frac{1}{2}$AB。
又
∵CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴CE=CD。
∵E是AB中点，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB。
假设D与E不重合，
则在△CDE中，CE=CD，
∴△CDE是等腰三角形，
则点D在以C为圆心，CE为半径的圆上，同时点D在AB上。
但AB上到点C距离为$\frac{1}{2}$AB的点只有E（直角三角形斜边上中线的唯一性），
∴D与E重合，即D是AB中点，
∴CD是AB边上的中线。