《2025年学习与评价江苏凤凰教育出版社八年级数学上册苏科版》

你能将一个直角三角形分成两个等腰三角形吗？试着在图1-23中画一画.

答案： 解：能。
取斜边AB的中点D，连接CD。
∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，D是AB中点，
∴CD=AD=BD（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴△ACD和△BCD都是等腰三角形。
（画图：连接斜边AB中点D与直角顶点C）

例 如图1-24,∠BAC= ∠BDC= 90°,O,P分别是BC,AD的中点.求证：OP⊥AD.

答案： 【解析】：本题考查直角三角形斜边中线定理及等腰三角形三线合一性质。
已知条件中给出两个直角$\angle BAC$和$\angle BDC$，且O，P分别是$BC$，$AD$的中点。
根据直角三角形斜边中线定理，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
在$Rt\bigtriangleup ABC$和$Rt\bigtriangleup DBC$中，因为O是$BC$的中点，所以$OA = \frac{1}{2}BC$，$OD=\frac{1}{2}BC$，从而得到$OA = OD$。
由于$OA = OD$，$\bigtriangleup AOD$是等腰三角形。
又因为P是$AD$的中点，根据等腰三角形三线合一性质（等腰三角形底边上的中线、底边上的高和顶角平分线互相重合），所以$OP\perp AD$。
【答案】：证明：
连接$OA$，$OD$。
∵$\angle BAC = \angle BDC = 90^{\circ}$，O是$BC$的中点，
∴在$Rt\bigtriangleup ABC$中，$OA=\frac{1}{2}BC$（直角三角形斜边中线定理）；
在$Rt\bigtriangleup DBC$中，$OD=\frac{1}{2}BC$（直角三角形斜边中线定理）。
∴$OA = OD$，
∴$\bigtriangleup AOD$是等腰三角形。
∵P是$AD$的中点，
∴$OP\perp AD$（等腰三角形三线合一）。

1. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
如图,∵在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,D是AB的中点,
∴CD= $\frac{1}{2}$AB=AD=BD.

答案： 【解析】：
本题考查了直角三角形斜边上的中线性质。
在直角三角形中，斜边上的中线长度等于斜边长度的一半。
题目给出了直角三角形$ABC$，其中$\angle ACB = 90^\circ$，$D$是$AB$的中点。
根据直角三角形斜边上的中线性质，可得$CD$等于斜边$AB$的一半，即$CD = \frac{1}{2}AB$。
同时，由于$D$是$AB$的中点，所以$AD = BD=\frac{1}{2}AB=CD$。
【答案】：
中线；一半；$AB$；$AD$；$BD$。

2. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,CD为中线.
(1)写出图中所有的等腰三角形：$\triangle BCD$，$\triangle ACD$；
(2)已知∠A= 30°,图中与AD相等的线段有：$CD$，$BD$，$BC$.

答案： 【解析】：
本题主要考查等腰三角形的判定以及直角三角形斜边中线的性质。
（1）根据直角三角形斜边中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD$为中线，所以$CD = BD = AD$。
根据等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
因为$CD = BD$，所以$\triangle BCD$是等腰三角形；
因为$CD = AD$，所以$\triangle ACD$是等腰三角形。
（2）已知$\angle A = 30^{\circ}$，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，根据直角三角形两锐角互余，可得$\angle B = 180^{\circ}-\angle A - \angle ACB = 180^{\circ}-30^{\circ}-90^{\circ}= 60^{\circ}$。
因为$CD$为中线，所以$CD = AD = BD=\frac{1}{2}AB$。
在$\triangle BCD$中，$CD = BD$，$\angle B = 60^{\circ}$，根据有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形，所以$\triangle BCD$是等边三角形，则$BC = BD = CD$。
又因为$\angle A = 30^{\circ}$，在$Rt\triangle ABC$中，$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，即$BC=\frac{1}{2}AB$，而$AD=\frac{1}{2}AB$，所以$BC = AD$。
同时，因为$\triangle BCD$是等边三角形，所以$BD = CD$，又$AD = BD$，所以与$AD$相等的线段有$CD$，$BD$，$BC$。
【答案】：
(1)$\triangle BCD$，$\triangle ACD$
(2)$CD$，$BD$，$BC$