《2025年学习与评价江苏凤凰教育出版社八年级数学上册苏科版》

4. 已知:如图,在四边形ABCD中,∠B= ∠C,点E在BC上,AB//DE,EC= CD.求证:△DEC是等边三角形.

答案： 【解析】：本题可根据平行线的性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定定理来证明$\triangle DEC$是等边三角形。需要先根据$AB// DE$得出角的关系，再结合已知条件$\angle B = \angle C$和$EC = CD$，通过等量代换得到$\triangle DEC$三个角都相等且为$60^{\circ}$，进而证明其为等边三角形。
【答案】：证明：
∵$AB// DE$（已知）
∴$\angle DEC=\angle B$（两直线平行，同位角相等）
∵$\angle B = \angle C$（已知）
∴$\angle DEC=\angle C$（等量代换）
∵$EC = CD$（已知）
∴$\triangle DEC$是等腰三角形（等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形）
∴$\angle DCE=\angle DEC$（等边对等角）
∵$\angle DEC=\angle C$，$\angle DCE=\angle DEC$
∴$\angle DCE=\angle DEC=\angle C$
∵$\angle DCE+\angle DEC+\angle C = 180^{\circ}$（三角形内角和为$180^{\circ}$）
∴$\angle DCE=\angle DEC=\angle C = 60^{\circ}$
∴$\triangle DEC$是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）

5. 如图,在等边三角形ABC中,点D在AB上,以CD为边作等边三角形CDE,使点A,E在直线DC的同侧,连接AE.
(1)求证:△BCD≌△ACE.
(2)求证:AE//BC.

答案： 【解析】：
(1)证明△BCD和△ACE全等：
首先，由于△ABC和△CDE都是等边三角形，所以它们的各边和各角都相等。
即$CB = CA$，$CD = CE$，$\angle BCA = \angle DCE = 60^\circ$。
然后由于$\angle BCD + \angle DCA = \angle DCA + \angle ACE$，
所以$\angle BCD = \angle ACE$。
在△BCD和△ACE中，
$CB = CA$，
$\angle BCD = \angle ACE$。
$CD = CE$。
所以根据$SAS$判定定理，△BCD≌△ACE。
(2)证明AE//BC：
由于△BCD≌△ACE，所以$\angle EAC = \angle B = 60^\circ$。
又因为$\angle ACB = 60^\circ$，所以$\angle EAC = \angle ACB$。
根据内错角相等，两直线平行，所以$AE// BC$。
【答案】：
(1)证明：由于△ABC和△CDE都是等边三角形，
所以$CB = CA$，$CD = CE$，$\angle BCA = \angle DCE = 60^\circ$。
由于$\angle BCD + \angle DCA = \angle DCA + \angle ACE$，
所以$\angle BCD = \angle ACE$。
在△BCD和△ACE中，
$CB = CA$，
$\angle BCD = \angle ACE$。
$CD = CE$。
所以△BCD≌△ACE$(SAS)$。
(2)证明：由于△BCD≌△ACE，
所以$\angle EAC = \angle B = 60^\circ$。
又因为$\angle ACB = 60^\circ$，
所以$\angle EAC = \angle ACB$。
所以$AE// BC$。

6. 老师给出了下面的题目:如图①,在△ABC中,AB= AC,点P在边BC上,作PE⊥AB,PF⊥AC,BG⊥AC,垂足分别为E,F,G.
(1)求证:PE+PF= BG.
(2)如图②,将“在△ABC中,AB= AC,点P在边BC上”改为“P是等边三角形ABC内一点”,作PE⊥AB,PF⊥AC,PM⊥BC,BG⊥AC,垂足分别为E,F,M,G.有类似结论吗？请写出结论并证明.

答案： 【解析】：
(1) 本题考查等腰三角形的性质及面积法。
首先，根据$AB = AC$可知$\triangle ABC$是等腰三角形，连接$AP$。
然后，利用$\triangle ABC$的面积等于$\triangle ABP$与$\triangle ACP$的面积之和，即$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}$。
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），可得$\frac{1}{2}AC\cdot BG=\frac{1}{2}AB\cdot PE+\frac{1}{2}AC\cdot PF$。
因为$AB = AC$，等式两边同时约去$\frac{1}{2}AC$，得到$PE + PF = BG$。
(2) 本题考查等边三角形的性质及面积法。
结论：$PE+PF + PM = BG$。
证明：连接$PA$，$PB$，$PC$。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，根据等边三角形面积的分割，$\triangle ABC$的面积等于$\triangle PAB$、$\triangle PAC$、$\triangle PBC$的面积之和，即$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle PAB}+S_{\triangle PAC}+S_{\triangle PBC}$。
由三角形面积公式可得$\frac{1}{2}AC\cdot BG=\frac{1}{2}AB\cdot PE+\frac{1}{2}AC\cdot PF+\frac{1}{2}BC\cdot PM$。
又因为$AB = BC = AC$，等式两边同时约去$\frac{1}{2}AC$，得到$PE + PF+PM = BG$。
【答案】：
(1) 证明：连接$AP$。
$\because S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}$，$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AB\cdot PE$，$S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}AC\cdot PF$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BG$，且$AB = AC$，
$\therefore\frac{1}{2}AC\cdot BG=\frac{1}{2}AB\cdot PE+\frac{1}{2}AC\cdot PF$，
$\therefore PE + PF = BG$。
(2) 结论：$PE+PF + PM = BG$。
证明：连接$PA$，$PB$，$PC$。
$\because S_{\triangle ABC}=S_{\triangle PAB}+S_{\triangle PAC}+S_{\triangle PBC}$，$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}AB\cdot PE$，$S_{\triangle PAC}=\frac{1}{2}AC\cdot PF$，$S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}BC\cdot PM$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BG$，且$AB = BC = AC$，
$\therefore\frac{1}{2}AC\cdot BG=\frac{1}{2}AB\cdot PE+\frac{1}{2}AC\cdot PF+\frac{1}{2}BC\cdot PM$，
$\therefore PE + PF+PM = BG$。