《2025年学习与评价江苏凤凰教育出版社八年级数学上册苏科版》

如图1-22,在△ABC中,如果AB= AC,增加一个什么条件,能使△ABC是一个等边三角形?

答案： ∠A=60°

例 求证:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边是斜边的一半.

答案： 【解析】：
本题主要考察直角三角形中30°-60°-90°三角形的性质，即在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。我们可以按照以下步骤进行证明：
第一步，设直角三角形为$ABC$，其中$\angle C = 90°$，$\angle A = 30°$，$BC$为$\angle A$的对边，也就是直角边，$AB$为斜边。
第二步，根据正弦定理，在任意三角形中，边长与其对角的正弦值的比是相等的，即$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$。
第三步，将已知条件代入正弦定理，得$\frac{BC}{\sin 30°} = \frac{AB}{\sin 90°}$。
第四步，根据特殊角的三角函数值，我们知道$\sin 30° = \frac{1}{2}$，$\sin 90° = 1$。
第五步，代入第四步中的三角函数值，化简得$BC = \frac{1}{2}AB$。
所以，我们证明了在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半。
【答案】：
证明：设直角三角形$ABC$中，$\angle C = 90°$，$\angle A = 30°$，$BC$为直角边，$AB$为斜边。
由正弦定理，我们有$\frac{BC}{\sin 30°} = \frac{AB}{\sin 90°}$。
因为$\sin 30° = \frac{1}{2}$，$\sin 90° = 1$，代入得$BC = \frac{1}{2}AB$。
所以，我们证明了在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半。

1.(1)等边三角形的各角相等.
∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠A= ∠B= ∠C= 60°.
(2)三边相等的三角形是等边三角形.
∵ AB = BC = CA,
∴ △ABC是等边三角形.
(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
∵ AB= AC,∠A= 60°,
∴ △ABC是等边三角形.
(4)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边是斜边的一半.
∵ Rt△ABC中,∠C= 90°,∠A= 30°,
∴ BC= $\frac{1}{2}AB$.

答案： 【解析】：
本题主要考察等边三角形的性质以及直角三角形中30°角所对的直角边与斜边的关系。
(1) 等边三角形的各角相等，且每个角都是60°。
(2) 三边相等的三角形是等边三角形。
(3) 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
(4) 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半。
【答案】：
(1) 等边三角形的各角相等；
∵ $\bigtriangleup ABC$是等边三角形,
∴ $\angle A= \angle B= \angle C= 60^\circ$。
(2) 三边相等的三角形是等边三角形；
∵ $AB = BC = CA$，
∴ $\bigtriangleup ABC$是等边三角形。
(3) 有一个角是$60^\circ$的等腰三角形是等边三角形；
∵ $AB= AC$，$\angle A= 60^\circ$，
∴ $\bigtriangleup ABC$是等边三角形。
(4) 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半；
∵ $Rt\bigtriangleup ABC$中，$\angle C= 90^\circ$，$\angle A= 30^\circ$，
∴ $BC= \frac{1}{2}AB$。

2. 一个三角形是轴对称图形,且有一个内角是60°,这个三角形是(B).
A.等腰直角三角形
B.等边三角形
C.有30°锐角的直角三角形
D.直角三角形

答案： 【解析】：
本题考查等边三角形的判定以及轴对称图形的性质。
首先，根据轴对称图形的性质，一个图形如果沿一条直线对称，那么它必须是等腰的或更特殊的图形。在本题中，给出的图形是一个三角形，且是轴对称图形，那么它必须是等腰三角形或等边三角形。
接下来，题目又给出三角形中有一个内角是$60^\circ$。在等腰三角形中，如果有一个角是$60^\circ$，那么另外两个角也必须是$60^\circ$（因为两个底角相等，且三个角之和为$180^\circ$），从而形成一个等边三角形。而在非等边的等腰三角形中，不可能有一个角是$60^\circ$的同时还保持轴对称性质（因为其他两个角不会是$60^\circ$）。
A选项：等腰直角三角形的一个角是$90^\circ$，另外两个角是$45^\circ$，不符合题意。
B选项：等边三角形的三个角都是$60^\circ$，且是轴对称图形，符合题意。
C选项：有$30^\circ$锐角的直角三角形，其中一个角是$90^\circ$，不符合题意。
D选项：直角三角形中有一个角是$90^\circ$，不符合题意。
因此，这个三角形只能是等边三角形。
【答案】：
B

3.(1)如图,在△ABC中,AB= BC= AC,AD是中线,点E在边AC上,AE= AD,则∠EDC= ______°.

15
(2)以正方形ABCD的一边CD为边向外作等边三角形CDE,则∠AEB= ______°.

30

答案： 3.
(1)解：
∵AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，∠BAC=60°。
∵AD是中线，
∴AD平分∠BAC，∠ADC=90°，∠CAD=30°。
∵AE=AD，
∴∠ADE=∠AED=(180°-30°)/2=75°。
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°。
15
(2)解：
∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，
∴AD=CD=DE，BC=CD=CE，∠ADC=∠BCD=90°，∠CDE=∠DCE=60°。
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=150°，∠BCE=∠BCD+∠DCE=150°。
∵AD=DE，
∴∠DAE=(180°-150°)/2=15°。
同理∠CBE=15°。
∴∠EAB=90°-15°=75°，∠EBA=90°-15°=75°。
∴∠AEB=180°-75°-75°=30°。
30