《2025年学习与评价江苏凤凰教育出版社八年级数学上册苏科版》

5. 在△ABC中,AB= AC,AE是中线,BF是角平分线,∠C= 70°.求∠BAE和∠1的度数.

答案： 【解析】：
本题主要考察等腰三角形的性质以及角平分线的性质。
首先，由于$AB = AC$，根据等腰三角形的性质，我们知道$\angle B = \angle C$。
题目给出$\angle C = 70^\circ$，所以$\angle B = 70^\circ$。
接下来，由于$AE$是$BC$的中线，根据等腰三角形的三线合一性质（等腰三角形底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线互相重合），
我们可以得出$AE$也是$\angle BAC$的角平分线，即$\angle BAE = \angle CAE$，并且$AE\perp BC$（等腰三角形三线合一）。
由于三角形的内角和为$180^\circ$，
我们可以计算出$\angle BAC = 180^\circ - 2 × 70^\circ = 40^\circ$。
因此，$\angle BAE = \frac{1}{2} × 40^\circ = 20^\circ$。
又因为$BF$是$\angle ABC$的角平分线，
所以$\angle 1 = \frac{1}{2} × \angle ABC = \frac{1}{2} × 70^\circ = 35^\circ$。
【答案】：
$\angle BAE =20^\circ$；$\angle 1 = 35^\circ$。

6. 如图,在△ABC中,AB= AC.在△PBC中,PB= PC.
(1)求证:∠ABP= ∠ACP.
(2)连接AP,求证:AP⊥BC.

答案： 【解析】：
本题可根据等腰三角形的性质，通过证明三角形全等，进而证明角相等以及线段垂直。
对于（1）求证$\angle ABP = \angle ACP$：
已知$AB = AC$，$PB = PC$，$AP$为公共边，可根据全等三角形的判定定理“边边边”（$SSS$）来证明$\triangle ABP$和$\triangle ACP$全等，再根据全等三角形的性质得到对应角相等。
对于（2）求证$AP\perp BC$：
由（1）已证$\triangle ABP\cong\triangle ACP$，根据全等三角形的性质可知对应角相等，即$\angle BAP = \angle CAP$，再结合等腰三角形“三线合一”的性质来证明$AP\perp BC$。
【答案】：
证明：
(1)在$\triangle ABP$和$\triangle ACP$中，
$\begin{cases}AB = AC \\PB = PC \\AP = AP\end{cases}$
根据全等三角形的判定定理“边边边”（$SSS$），可得$\triangle ABP\cong\triangle ACP$。
因为全等三角形的对应角相等，所以$\angle ABP = \angle ACP$。
(2)由（1）可知$\triangle ABP\cong\triangle ACP$，根据全等三角形的性质可得$\angle BAP = \angle CAP$。
因为$AB = AC$，即$\triangle ABC$是等腰三角形，在等腰三角形中，顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（三线合一）。
由于$AP$平分$\angle BAC$，所以$AP$是等腰$\triangle ABC$底边$BC$上的高，即$AP\perp BC$。