《2025年学习与评价江苏凤凰教育出版社八年级数学上册苏科版》

5. 如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O,OB= OC.求证:∠1= ∠2.

答案： 证明：
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ODB=∠OEC=90°。
在△ODB和△OEC中，
∠ODB=∠OEC，
∠DOB=∠EOC（对顶角相等），
OB=OC，
∴△ODB≌△OEC（AAS）。
∴OD=OE。
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AO平分∠BAC，即∠1=∠2。

6. 如图,∠B= ∠C= 90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC.求证:AE是∠DAB的平分线.

答案： 【解析】：
本题可根据角平分线的性质定理，通过作辅助线构造全等三角形，进而证明$AE$是$\angle DAB$的平分线。
证明思路为：过点$E$作$EF\perp AD$于点$F$，先根据角平分线的性质得到$EC = EF$，再结合$E$是$BC$中点得到$EB = EF$，最后根据角平分线的判定定理证明$AE$是$\angle DAB$的平分线。
【答案】：
证明：
过点$E$作$EF\perp AD$于点$F$。
∵$DE$平分$\angle ADC$，$\angle C = 90^{\circ}$（即$EC\perp DC$），$EF\perp AD$，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴$EC = EF$。
∵$E$是$BC$的中点，
∴$EB = EC$。
又
∵$EC = EF$，
∴$EB = EF$。
∵$\angle B = 90^{\circ}$（即$EB\perp AB$），$EF\perp AD$，
根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，
∴点$E$在$\angle DAB$的平分线上，即$AE$是$\angle DAB$的平分线。

7. 如图,OC是∠AOB的角平分线,P是OC上的一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E. F是OC上的另一点,连接DF,EF.求证:DF= EF.

答案： 【解析】：
本题主要考查角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，可通过证明三角形全等得出$DF = EF$。
步骤一：根据角平分线的性质得到线段相等
已知$OC$是$\angle AOB$的角平分线，$PD\perp OA$，$PE\perp OB$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$PD = PE$。
步骤二：证明$\angle PDF = \angle PEF$
因为$PD\perp OA$，$PE\perp OB$，所以$\angle PDO = \angle PEO = 90^{\circ}$。
又因为$\angle AOC = \angle BOC$（$OC$是角平分线），$OP = OP$（公共边），根据全等三角形判定定理$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ODP\cong\triangle OEP$，则$\angle DPO = \angle EPO$。
因为$\angle DPF = 180^{\circ} - \angle DPO$，$\angle EPF = 180^{\circ} - \angle EPO$，所以$\angle DPF = \angle EPF$。
在$\triangle PDF$和$\triangle PEF$中，$PD = PE$，$\angle DPF = \angle EPF$，$PF = PF$（公共边），根据全等三角形判定定理$SAS$（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle PDF\cong\triangle PEF$。
步骤三：根据全等三角形的性质得出结论
由于$\triangle PDF\cong\triangle PEF$，根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，所以$DF = EF$。
【答案】：
证明：
∵$OC$是$\angle AOB$的角平分线，$PD\perp OA$，$PE\perp OB$，
∴$PD = PE$。
∵$\angle PDO = \angle PEO = 90^{\circ}$，$\angle AOC = \angle BOC$，$OP = OP$，
∴$\triangle ODP\cong\triangle OEP(AAS)$，
∴$\angle DPO = \angle EPO$。
∵$\angle DPF = 180^{\circ} - \angle DPO$，$\angle EPF = 180^{\circ} - \angle EPO$，
∴$\angle DPF = \angle EPF$。
在$\triangle PDF$和$\triangle PEF$中，
$\begin{cases}PD = PE\\\angle DPF = \angle EPF\\PF = PF\end{cases}$
∴$\triangle PDF\cong\triangle PEF(SAS)$，
∴$DF = EF$。